note-math

cf. curvature_of_metric.typ

在有限维应, 某个非退化 signature 的对称双线性型的空间 是对称双线性型的空间 的子流形, 其切空间可以嵌入到 , 作为 处的切向量的记号

在流形 , 某个非退化 signature metric 的空间 是对称双线性型场的空间 的子流形, 其切空间可以嵌入到 , 作为 处的切向量的记号

[Einstein_Lagrangian] := . 在坐标中

Question 纯量曲率用于作用量, 有什么好的解释吗?

作用量包含 的二阶微分, 所以不能用一般的一阶微分 action 理论

scalar-curvature 不是 homology-scalar-curvature, 后者的积分 (比例于 ?) is homology invariant, 故总是变分到零, have trivial eq

Prop 对 的变分

所以 product rule 给出

Prop Einstein-Lagrangian 中

Proof

forall , 所以

[Einstein_equation] [Einstein_metric]

等价于 (by taking )

with

i.e. 常值比例于 且 scalar-curvature 是常数

等价地

i.e. trace-free Ricci-curvature 是零, 且 scalar-curvature 是常数

Einstein-equation 是 的二阶非线性 PDE

when , with

存在相互作用时, 尽管 , 仍然有散度是零

Proof

Prop 对于 Einstein 作用量, δ-isometry 的能动张量将会是零

moduli-space-of-Einstein-metric := diffeomorphism 作用于 metric 空间的 orbit 空间, 限制在 Einstein-metric space. isotropy-group is isometry

Question 即使我们知道每个流形的所有 Einstein-metric, 也仍然不知道应该选择哪个流形

Question constant-sectional-curvature or simple-symmetric-space 的流形分类似乎是令人满意的

当 dimension 存在流形不允许 constant-sectional-curvature metric 但允许 Einstein-metric

[Schwarzschild_metric] in := 渐进平直静态球对称, 作为 non-relativity gravity in 的最简单推广. 在空间 使用球坐标

with and . 从而只有 conformal curvature

推广到 ?

[Schwarzschild_metric_derivation] (ref-9, ch.4)

[Schwarzschild_metric_approximate_to_Newton_gravity]

Question 如果引力源是 或者 , 则 metric 是什么?

一些 Einstein-metric 例子

• 常值截面曲率
• simple_symmetric_space

Einstein ==> harmonics. Einstein-equation satisfy eq defined by Lagrangian