note-math

cf. wiki:Symmetric_space wiki:Simple_Lie_group

[symmetric_space_locally] := 在测地线坐标下, 反射 是 isometry. 等价于

Example quadratic manifold, simple-Lie-group and related symmetric-space

constant-sectional-curvature ==> symmetric-space

simple-Lie-group := Lie-algebra & Lie-bracket cannot decompose

Killing form := for 处的切空间的

然后定义 处的 metric 通过 action 生成的其它地方的 metric, 而且是 bi-invariant 的 i.e. 群作用的两种形式都给出相同的 metric

这样的定义使得群作用是 Killing-form 的 isometry

不是 simple-Lie-group 也可以定义 Killing-form

Question Killing-form 的定义的动机?

simple-Lie-group <==> Killing-form 非退化

simple-Lie-group and its symmetric-space 的 Killing-form 是 Einstein-metric

Proof of simple-Lie-group 的情况

Prop at , 同理对 生成的场 (bi-invariant)

Proof

Prop for simple-Lie-group

二次型流形. 的对称群

• orbit type or

  • induced metric signature (normal vector )
  • isotropy-group
  • quotient
  • isometry of is (isometry 假设保持方向)

• orbit type or

  • induced metric signature (normal vector )
  • isotropy-group
  • quotient
  • isometry of is

Example

• spatial manifold 有

• 时空二次型流形有 和单叶双曲面

二次型流形的例子有这种性质

simple-Lie-group , simple-Lie-group isotropy , orbit

Lie-algebra 有正交分解 , 不是 Lie bracket 分解

是 的 Lie-algebra, 是正交补

给出 的坐标

的 Killing-form 导出 的 Killing-form 和 的 Einstein metric