非相对论时空
[action_point_particle_non_relativity] 路径 的作用量
let 是时变向量场 or 时变 δ diffeomorphism, 或者 是非相对论时空 的特殊类型的向量场
let 在边界是零 — 固定路径的终点
let 作用量的微分是零
where
use product rule
and 在边界是零, 使得
所以作用量的微分是
对所有 δ diffeomorphism 成立, 从而给出 Lagrange-equation (alias Euler–Lagrange-equation), 对于非相对论点粒子, [Newton_equation]
作用量的动量部分 没有用 的 volume-form, 而是用 的二次型 和时间 的 volume-form
Lagrangian 可以写为函数 (切丛上的函数)
一般点粒子作用量的 Lagrange-equation
对一般的 , 重复上述过程. 作用量
作用量的微分
use
在边界是零 + 对所有 δ diffeomorphism , 积分是零 ==> [point_particle_Lagrange_equation]
Euclidean 型 metric-manifold
推广到 Euclidean 型 metric-manifold
尽管没有使用 metric volume form, 由于作用量的动能部分的形式, 仍然联系到 metric 测地线
对称与守恒量 (Noether theorem)
处理非相对论时空 的对称性 alias Galileo 群, 生成自 的平移, 旋转, 非相对论 boost
let 是作用量方程的解
注意, 对 的沿对称的变分可能会使得它不再是方程的解, i.e. 对称的 δ diffeomorphism 可能不在边界是零 i.e. 会改变路径端点, 所以相关的对作用量的微分 at 解 , 可能不是零
- 时间平移
在非相对论, 保持时间 的测度和方向的映射是时间平移
δ 积分区域的变分 [calculation_1_action_point_particle_non_relativity]
第一个等式可以来自微积分基本定理 + 复合函数微分
一般地, 改变区域 通过 通过 δ diffeomorphism 给出
另一边, use 变量替换公式
将其应用到
然后使用微分积分的交换
复合函数微分
是作用量对 (改变端点的) δ differentiation 在解 处的变分 [calculation__action_point_particle_non_relativity]
recall calculation_1_action_point_particle_non_relativity
use , 将上一项与下一项合并
得到
量
称为作用量 的能量, 是沿时间 不变的, forall , i.e. 守恒. 对所有 成立也蕴含
对于 能量是 [energy_point_particle_non_relativity]
Homogeneity of Time ==> Conservation of Energy
- 空间平移
作用量的动能部分
尽管空间平移 δ diffeomorphism 不在边界是零或者会改变路径端点, 时间端点没有变, 且空间平移不改变动能. with ,
所以类似 能量的情况, with δ diffeomorphism
[momentum_point_particle_non_relativity] 作用量 的动量
沿时间 不变, forall , i.e. 守恒
更一般地, let 作用量 with 使得这个方向的端点不影响作用量, 则动量
守恒
Homogeneity of Space ==> Translation Invariance of ==> Conservation of Total Linear Momentum
Lagrangian
forall (by ) 所以动量
守恒
- 空间的旋转
选择一个原点. Lagrangian
表示为绕轴 的旋转, cross product 是 δ 旋转
绕轴旋转 ==>
in , with , and magnitude
长度对方向不变
类似动量的情况, Lagrangian 对旋转 invariant, δ diffeomorphism (tangent vector field) 是 , 因此
[rotation_momentum_point_particle_non_relativity] 旋转动量 rotation-momentum alias 角动量 angular-momentum
是沿时间 不变的, forall
量
也是称为旋转动量
更一般地 with 使得 Lagrangian 对绕 旋转 invariant, 则绕 旋转动量是
Isotropy of Space ==> Rotational Invariance of ==> Conservation of Total Angular Momentum
= 平行体有向体积 span by in Euclidean
旋转动量 是对时间的常值, 所以 是常值 2d 平面. 由于 , , 在常值二维平面
对于点粒子系统的 Lagrangian
总旋转动量
是沿时间 不变的
- 非相对论 boost
非相对论 boost
作用量 的守恒量是
forall
-
作用量 拥有非相对论时空 的所有 δ 对称的守恒量, 10 dimensional
-
作用量 有守恒的能量
-
作用量 有守恒的能量, 动量
-
作用量 有守恒的能量, 旋转动量
-
作用量 有守恒的能量, 动量, 旋转动量, 7 dimension
非相对论 potential
- 刚体
由 (or ) 参数化, 所以可以认为是 Euclidean 型流形 上的非相对论粒子. 但 metric 的使用 or 动能的使用不是 的 Killing_form, 因为 of , 因为对于不是均匀质量分布的球的物体, 在不同方向的旋转有不同的惯性. 转动惯量 moment of inertia i.e. metric 可能需要额外计算
也可以将转动惯量作为 Killing-form 下的对称算子, 特征基成是惯量主轴, 特征值是惯量矩