[orientation_of_real_linear_space] ๆนๅ
ๆไธคไธชๆนๅ. ๅฏนไบ ๅ้ๅบ, ไบคๆขไธๆฌก้กบๅบ ไผไฝฟๅพๆนๅๆนๅ, ๅผๅ ฅ ๅ ๅญ. ่ฟๅไบค้ๅผ ้ๆ็ธไผผไนๅค. ๆนๅๅฎไนไธบๅบ็ๅๅ quotient, ็ญไปทไบ ็ ๅ่งฃ
Def [orientation_of_boundary_of_convex_hull]
convex_hull ๆๅ่พน็็ๆนๅๆฏ, ็ป facet ๆๅจ็ ไปฟๅฐๅญ็ฉบ้ดๅฎไนๆนๅ, ไฝฟๅพๅค้จ ๅจ ็ปดๆญฃๆนๅ, ๅ ้จ ๅจ ็ปด่ดๆนๅ
ๅ ทไฝๆฅ่ฏด, ๅ ็ไธไธชๅฎๅ (ๅไธไธชๅบ ), ่ฎพ ๅจ ็ปด็่ถ ๅนณ้ข . ่ฎฉไป ๆๅ convex hull ๅ ้จ็ไธไธชๅ้ไธบ , ็ถๅๅจ ็ปด็ ไธญ้ๅไธไธชๅบ ไฝฟๅพ ๆฏ ็ไธไธชๆญฃๅฎๅ็ๅบ (ไป ่ฝฌ็งปๅฐ ็็บฟๆงๅๆขๆๆญฃ็ ). ไบๆฏ่ฟๆ ทๅฐฑ็ป ็ปด็ ๅ ๆๅฎไบไธไธชๆญฃๆนๅ
ๅฏไปฅ็ปง็ปญๅฏน่พน็็่พน็ๅฎไนๆนๅ
Def [oriented_simplex]
simplex ๆๆดๅฅฝ็ๅค็ๆนๅ็ๆนๆณ.
simplex ้กถ็นๆ นๆฎ ๅฏไปฅๆ้ ๆๅๅบ . ่ฎฐไธบ
Example ๅ้ขไฝ, ๅณๆๅฎๅ (ๅพ็็้กถ็น็ๆๆ ไป ่ไธๆฏ ๅผๅง)
Prop [oriented_simplex_permutation] ไบคๆขๆๅๅ็บฏๅฝข ็ไปปๆไธคไธช็ธ้ป้กถ็น, ๅ ถๅฏนๅบ็ๅ ไฝๅฎๅ (ๅบ็่กๅๅผ) ไธฅๆ ผไนไปฅ . ไป่ๅฏนไปปๆ็ฝฎๆข , ๅฎๅๆนๅ .
Proof
่ฎพๅๅง็้พๅฝขๅบไธบ , ๅ ถไธญๆญฅไผๅ้ไธบ .
็ฐๅจๆไปฌ่ฆไบคๆข็ธ้ป้กถ็น ๅ . ่ฟๅชไผๅฝฑๅๅฐ ไปฅๅ
ๆไปฌๅไธ็งๆ ๅต่ฎจ่ฎบ:
Case 1: ไบคๆขไธญ้ด็็ธ้ป้กถ็น ๅ ()
ไบคๆขๅ, ๅฑ้จ็็นๅบๅ็ฑ ๅไธบไบ
ๅฏนๅบ็ๆฐๆญฅไผๅ้ ๅ็ไบๅฆไธๆนๅ:
ๆไปฌๅฐ่ฟไธไธชๅๅฝฑๅ็ๅๆๅๅบๆฅ, ่งๅฏๅฑ้จ่ฟๆธก็ฉ้ต:
่ฟไธช ๅฑ้จ็ฉ้ต็่กๅๅผไธบ
Case 2: ไบคๆข่ตท็น ๅ (ๅณ )
ไบคๆขๅๅบๅไปฅ ๅผๅคด. ๅๅฝฑๅ็ๅชๆๅไธคไธชๆญฅไผๅ้ :
ๅฑ้จ่ฟๆธก็ฉ้ตไธบ:
่ฟไธช ็ฉ้ต็่กๅๅผไธบ
Case 3: ไบคๆข็ป็น ๅ (ๅณ )
ไบคๆขๅๅบๅไปฅ ็ปๅฐพ. ๅๅฝฑๅ็ๅชๆๆๅไธคไธชๆญฅไผๅ้ :
ๅฑ้จ่ฟๆธก็ฉ้ตไธบ:
่ฟไธช ็ฉ้ต็่กๅๅผไธบ .
็ปผไธๆ่ฟฐ, ๅจ้พๅฝขๅบไธญ, ไปปไฝ็ธ้ป้กถ็น็ไบคๆข้ฝไผไฝฟ่ฟๆธก็ฉ้ต็่กๅๅผไธฅๆ ผ็ญไบ . ไป่ๅฏนไบไปปๆ็ฝฎๆข , ็ป่ฟๅฅๆฐ/ๅถๆฐๆฌก็ธ้ปไบคๆขๅ, ๅฎๅๆนๅ .
Prop [oriented_simplex_boundary] ไฝฟ็จ้พๅฝขๅบ (Path Basis) ็ปๅ โๅคๆณๅ้ฆไฝ (Outward Normal FIRST)โ ็ๅ ไฝ็บฆๅฎ, ๅ ้ค้กถ็น ไผๅฏผ่ด่ฏฑๅฏผๅฎๅ็ณปๆฐไธบ .
Proof
่ฎพๅ็บฏๅฝข ็้พๅฝขๅบไธบ , ๅ ถไธญๆญฅไผๅ้ๅฎไนไธบ .
็ฐๅจๆไปฌ่ฆ็ ็ฉถๅ ๆ ๅ็ ็ปด่พน็ . ๆไปฌๅไธ็งๆ ๅต่่ๅ ถ้พๅฝขๅบๅๅคๆณๅ:
Case 1: ๅ ้คไธญ้ด็้กถ็น ()
ๅฏนไบ , ่ทฏๅพๅบๅไธๅ็ป่ฟ , ่ๆฏไป ็ดๆฅ โๆ่ฟ้โ ่ทจๅ . ่ฟไธๆญฅ็่ทจ่ถๅ้ไธบ:
ไบๆฏ ่ช่บซ็้พๅฝขๅบ ๅฐๅๆฌ็ไธคไธชๆญฅไผๅๅนถๆไบไธไธช:
(ๆณจๆ, ๆญคๆถ ๅ ฑๆ ไธชๅ้. ๅ ถไธญ ๆๅจ็ฌฌ ไธชไฝ็ฝฎ).
ๆฅไธๆฅๅฏปๆพๅคๆณๅ . ๅ ไธบ ๆฏๅฏน้ข็้กถ็น, ไป้ข ไธ็็น ๆๅ ็ๆญฅไผ ๆพ็ถๆฏๆๅๅ ้จ็. ๆไปฅ, ๆไปฌๅฏไปฅ็ดๆฅ้ๅๅคๆณๅ .
ๆ็ ง โๅคๆณๅ้ฆไฝโ ็่งๅ, ๅฐ ๆผๆฅๅฐ ็ๆๅ้ข, ๆ้ ๅบๅคๅฎๅบ:
ๆไปฌ้่ฟ็ฉ้ต็ๅ็ญๅๅๆข, ๆๅฎ่ฟๅๅๅๅงๅบ :
- ๅฐ็ฌฌ 1 ๅ (ๅณ ) ๅ ๅฐ็ฌฌ ๅ (ๅณ ) ไธ. ่ฟไธๆญฅๆฏๅ็ญๅๅๆข, ่กๅๅผไธๅ. ๅ ๅฎๅ, ็ฌฌ ๅๅๆไบ . ๆญคๆถๅบๅไธบ:
- ๅฐ็ฌฌ 1 ๅ็่ดๅทๆๅบๆฅ, ่กๅๅผไนไธ . ๆญคๆถๅบๅไธบ:
- ๆไปฌ่ฆๆไฝไบ็ฌฌ 1 ๅ็ ็งปๅๅฎๆฌๆฅ่ฏฅๅ็็ฌฌ ๅ็ไฝ็ฝฎ. ๅฎ้่ฆ่ถ่ฟ , ๆปๅ ฑ่ฟ่ก ๆฌก็ธ้ปๅไบคๆข. ๆฏๆฌกไบคๆขไน , ไป่่กๅๅผไนไธ .
ๆป็่กๅๅผ็ฌฆๅทๅๅไธบ: .
Case 2: ๅ ้ค่ตท็น (ๅณ )
ๅฏนไบ , ๅบๅ็ดๆฅไป ๅผๅง, ๆไปฅๅฎ็้พๅฝขๅบๅคฑๅปไบ็ฌฌไธไธชๆญฅไผ:
ๆไปฌ่ฆๆพๅคๆณๅ. ไปๆฐ่ตท็น ๆๅๆง่ตท็น ็ๅ้ๆฏๅ ๅ็: . ๆไปฅๅคๆณๅๆฏ .
ๆผๆฅๅบๆฅ็ๅคๅฎๅบ็ดๆฅๅฐฑๆฏ:
ไธๅๅบๅฎๅ จไธ่ด! ๆไปฅไธ้่ฆๅๅท, ็ณปๆฐๆฏ .
Case 3: ๅ ้ค็ป็น (ๅณ )
ๅฏนไบ , ๅบๅๅจ ๆๅ็ปๆ. ้พๅฝขๅบๅคฑๅปไบๆๅไธไธชๆญฅไผ:
ๅ ๅๅ้ๆฏไป ๆๅ , ๅณ . ๅคๆณๅไธบ .
ๆผๆฅๅคๅฎๅบ:
- ๆๅ็ฌฌ 1 ๅ็่ดๅท: ่กๅๅผไน , ๅพๅฐ .
- ๅฐ ไป็ฌฌ 1 ๅไธ่ทฏไบคๆขๅฐๆๅ้ข (็ฌฌ ๅ). ๅฎ้่ฆ่ถ่ฟๅฉไธ็ ไธชๅ้, ไบคๆข ๆฌก. ่กๅๅผไน .
ๆป็ฌฆๅทๅๅ: .
Prop [simplex_boundary_of_boundary_is_zero] simplex ็ไธคไธช ็ปดๆๅ่พน็ ๅฆๆๆๅ ฑๅ็ ็ปด่พน็ , ๅๅจ ไธ็ฑ ่ฏฑๅฏผ็ๆนๅๆฏ็ธๅ็ (ไนๅณไปฃๆฐๆๆ่ๅ็ )
Proof
่ฎพไธคไธช ็ปด facet ๅๅซไธบๅป้ค ็ ๅๅป้ค ็ . ไธๅฆจๅ่ฎพๅๅงไธๆ .
ๅฎไปฌๅ ฑๅไบคไบ็ ็ปด face ่ฎฐไธบ , ๅ ถ้กถ็นๆๆไธบๅป้คไบ ๅ .
ๆไปฌๅๅซไป ๅ ่ฎก็ฎๅฎไปฌๅจ ไธๅๆฌก่ฏฑๅฏผๅบ็ๅฎๅ็ฌฆๅท:
1. ไป ่ฏฑๅฏผ่ณ : ๆฌ่บซ็ๅฎๅๅบๅไธบ . ๅจ่ฟไธชๆฐๅบๅไธญ, ๅ ไธบๆๅจๅ้ข็ ๅทฒ็ป่ขซๆๅป, ๅ้ข็ ็ๅฎ้ ็ดขๅผไฝ็ฝฎๅๅ็งปๅจไบไธไฝ, ๅๆไบ . ๆไปฅ, ๅไป ๆๅป ไปฅๅพๅฐ ๆถ, ๆฐ่ฏฑๅฏผๅบ็็ฌฆๅท็ณปๆฐ้่ฆไนไปฅ . ๆ็ปๅฐ่พพ ็ๅฎๅไธบ:
2. ไป ่ฏฑๅฏผ่ณ : ๆฌ่บซ็ๅฎๅๅบๅไธบ . ๅจ่ฟไธชๅบๅไธญ, ๅ ไธบ่ขซๆๅป็ๆฏๆๅจๅ้ข็ , ่ฟๅฏนๆๅจๅ้ข็ ็็ดขๅผไฝ็ฝฎๆฒกๆไปปไฝๅฝฑๅ, ็็ดขๅผไพ็ถๆฏ . ๆไปฅ, ๅไป ๆๅป ไปฅๅพๅฐ ๆถ, ๆฐ่ฏฑๅฏผๅบ็็ฌฆๅท็ณปๆฐๅช้ไนไปฅ . ๆ็ปๅฐ่พพ ็ๅฎๅไธบ:
็ป่ฎบ: ็ฑ ่ทฏ็บฟ่ฏฑๅฏผไธๆฅ็ๅฎๅ็ณปๆฐๆฏ , ็ฑ ่ทฏ็บฟ่ฏฑๅฏผไธๆฅ็ๅฎๅ็ณปๆฐๆฏ . ๆพ็ถ , ไธค่ ็ณปๆฐๆญฃๅฅฝๅทฎไธไธช่ดๅท. ๅ ไธบๅฎไปฌๅฏนๅบ็้กถ็นๅบๅๆๅๅฎๅ จไธ่ด, ๅ ๆญคไธค่ ๅจๅ ไฝไธ็ๅฎๅไธฅๆ ผๆตๆถ็ธๅ!
Def [simplex_boundary_chain]
Prop [boundary_of_simplex_boundary_chain_is_zero]
Proof
ๆ นๆฎ่พน็็ฎๅญ็็บฟๆงๆง่ดจ, ๆไปฌๅฐๅ ถ่ฟ็ปญๅฑๅผไธคๆฌก:
็ฐๅจๆไปฌไป็ปๅฑๅผๅ ๅฑ็ . ๅฏนไบๅบๅฎ็ , ๅ็บฏๅฝข ๅทฒ็ปๅฐไบไธไธช้กถ็น , ๅ ฑๆ ไธช้กถ็น. ๅฝๆไปฌๅๆฌกไปไธญๅ ๅปๆไธช้กถ็น () ๆถ, ้่ฆๆณจๆ ๅจๆฐๅบๅไธญ็็ปๅฏน็ดขๅผไผๅ ไธบ ็็ผบๅคฑ่ๅ็ๆนๅ:
-
ๆ ๅต 1:
ๆๅจ ็ๅ้ข. ๆๆ ๅฏน ็ไฝ็ฝฎๆฒกๆไปปไฝๅฝฑๅ, ๅฎๅจๆฐๅบๅไธญ็็ดขๅผไพ็ถๆฏ . ไบง็็้กนไธบ: .
-
ๆ ๅต 2:
ๆๅจ ็ๅ้ข. ๅ ไธบๅ้ข็ ๅทฒ็ป่ขซๆๆไบ, ๅจๆฐๅบๅไธญ็็ดขๅผไผๅๅ็งปๅจไธไฝ, ๅๆ . ไบง็็้กนไธบ: .
ๅฐ่ฟไธค็งๆ ๅตไปฃๅๅ้ๆฑๅไธญ:
ๆณจๆ่งๅฏ่ฟไธคไธชๅ้ๆฑๅๅผ. ๅฎไปฌ้ๅ็ๅ ถๅฎๆฏๅไธ็ป็นๅฏน: ๅณๆๆๆปก่ถณ ็้กถ็นๅฏน . ไธบไบๆดๆธ ๆฐๅฐ็ๅบๆตๆถๅ ณ็ณป, ๆไปฌๅจ็ฌฌไธไธชๅๅผไธญๅไธไธชๅ็บฏ็โ้ๅฝๅโ (Dummy Variable Substitution): ไปค , ๆญคๆถ . ๅจ็ฌฌไบไธชๅๅผไธญไน้ๅฝๅ: ไปค , ๆญคๆถไพ็ถๆปก่ถณ .
ไปฃๅ ฅ้ๅฝๅๅ็ๅ้:
ๅ ไธบ ๅ ็ๆๆฐๅๅฅฝ็ธๅทฎ , ๅฎไปฌไธๆญฃไธ่ด, ๅฟ ็ถไธฅๆ ผ็ธๅ ไธบ .
ๅ ๆญคๆฏไธ้กน้ฝ่ขซๅฎ็พๆตๆถ, ๆ็ป็ปๆไธบ .
[orientable_low_dim_polyhera] ๅค้ขไฝ ๅฏๅฎๅ ๅฎไนไธบ, ็จ hull ๆ้ ๅค้ขไฝๆถ, ่ฝๅคๅฏนๆๆ hull ๅฎไนๅ ผๅฎน็ๆนๅ, ไฝฟๅพ็ธ้ปไธคไธช hull ็ ็ธๆฅ่พน็ hull ็ๆนๅๅ ผๅฎน i.e. ๆนๅ ๅฏนๅบ hull ็ๅ ้จๅ hull ็ๅค้จ. ๆนๅ ๅฏนๅบ hull ็ๅ ้จๅ hull ็ๅค้จ
Eaxmple [Mobius_strip] ไธๅฏๅฎๅ็ Mobius ๅๅค้ขไฝ (image modified from wiki)
ไธ็ฎกๆไนๅฎไนๆฏไธช hull ็ๆนๅ, ้ฝๅญๅจไธๅฏน็ธ้ป hull ็ ็ธๆฅ่พน็ hull ็ๆนๅไธๅ ผๅฎน
ๆ้ ๅฐ, ไปๅๅง hull ๅผๅง, ไธๆญไผ ้ๅฐๅฏน็ธ้ป hull ๅฎไนๅ ผๅฎน็ๆนๅ, ็ปไธๅไผๅฏผ่ด็ธๆฅ่พน็ hull ็ๆนๅไธๅ ผๅฎน: ๆนๅ ้ฝๅฏนๅบ ๅ ้จ, ๆนๅ ้ฝๅฏนๅบ ๅค้จ
[hull_chain] . ็ฑไบๅ ไฝๆไน, ่ฟ้ๅช่่ ็ณปๆฐ
hull_chain ๅฏไปฅ่กจ็คบไธบ simplex chain
[boundary_operator]
่พน็็ฎๅญ
ๆฏ cycle :=
ๆฏ boundary :=
or
or
Example
-
boundary-op-not-injective (p. 405 of ref-11, vol.1)
-
[tri_intersect_boundary]
[homology]
k-th homology
ๅ ถไธญ ๅฑไบ chain ็ฉบ้ด
[real_linear_space_trivial_homology]
() ๆฏๅ็บฏๅ่ฐๅนณๅก็ or or in , ็่พน็ๆฏ้ถ <==> ๆฏ่พน็
ๅณ, ๅฏนไบ ็ปด simplex chain , ๅฆๆๅ ถ่พน็ , ้ฃไน ๅฟ ็ถๆฏ่พน็, ๅณๅญๅจ ็ปด simplex chain ไฝฟๅพ
ๅฝ ๆถ, ๅ่ฐๅนณๅก็็ญไปทไปฃๆฐ่กจ่ฟฐๆฏ้่ฆ้ขๅคๆปก่ถณๅ็บฆๆกไปถโโๅณ ็ปด้พ็็ณปๆฐไนๅไธบ )
ๅฝ ๆถ, ็ด่งไธๅบ่ฏฅๆ, ไธไธช ็ปด simplex chain ๅฆๆ่พน็ๆฏ้ถ , ๅ
Proof
ๅ ่่ ็ๆ ๅต, ็ๆ ๅตไนๅๅ่่
1. ้ฅ็ฎๅญ (Cone Operator)
ๅจ ไธญไปปๆ้ๅไธไธชๅ่็น ไฝไธบ้ฅ้กถ็น (Apex).
ๅฏนไปปๆไธไธช ็ปด simplex , ๆไปฌๅฎไนๅฎๅ ณไบ ็้ฅ , ๅฎๆฏๅฐ ไฝไธบๆฐ็่ตท็น้ๅ ๅจๅบๅๆ้ฆไฝๆ็ๆ็ไธไธช ็ปด simplex:
ๅฏนไบ็ฑๆ้ไธชๅ็บฏๅฝข็บฟๆง็ปๅๆๆ็ ็ปด้พ , ๆไปฌๅฐ่ฏฅ็ฎๅญ็บฟๆงๅฑๅผ:
2. ้ฅ็ไปฃๆฐ่พน็ๆ็ญๅผ (้พๅไผฆ)
็ฐๅจๆไปฌๅฉ็จๅฎไนๆฅ่ฎก็ฎ :
ๆไปฌๅจ่ฏฅ ็ปดๅบๅไธญไพๆฌกๅ ๅปๆฏไธไธช้กถ็น:
-
ๅฝๅ ้ค็ฌฌ ไธชไฝ็ฝฎ็้กถ็น (ๅณ ) ๆถ, ๅฏนๅบ็็ณปๆฐๆฏ , ๅฉไธ็ๅบๅๆฐๅฅฝๆฏๅๅง็ :
-
ๅฝๅ ้คๅ้ข็็ฌฌ ไธชไฝ็ฝฎ็้กถ็น (ไนๅฐฑๆฏๅ ไธญ็ ) ๆถ, ๅฏนๅบ็็ณปๆฐๆฏ . ่ฟ้จๅ็ๆฑๅไธบ:
ๆไปฌๅฐ ็ไธไธช่ดๅทๆๅๅฐๆฑๅๅทๅคๅด:
ๅฏไปฅๆธ ๆฅๅฐ็ๅฐ, ๆฌๅทๅ ็้จๅๆญฃๆฏ . ไป่่ฟไธ้กนๆดไฝ็ญไบ .
ๅฐ่ฟไธค้จๅๅๅนถ, ๆไปฌๅพๅฐไบ้ๅธธๅฏน็งฐไธๆผไบฎ็ๆ็ญๅผ:
็ฑไบ่พน็็ฎๅญไธ้ฅ็ฎๅญๅๆฏ็บฟๆง็, ๅฎๅๆ ท้็จไบๆดๆก้พ :
3. ๅฎๆๅนณๅกๆง่ฏๆ
ๅฆๆ ๆปก่ถณ (ๅฝ ๆถ), ๆไปฌๅฐ ไปฃๅ ฅไธ่ฟฐๆ็ญๅผ, ๅพๅฐ:
ไปค , ๆไปฌๅฐฑ็บฏไปฃๆฐๅฐๆ้ ๅบไบๆปก่ถณ ็ ็ปด้พ . ๅ ๆญค่ฏๆไบๅฎๆฏๅ่ฐๅนณๅก็.
(้ๆณจ: ่ฅ , ๅฏนไบ 0 ็ปด้พ , ๆ็ งๅฎไน . ๆญคๆถ่ฅ่ฆๆฑ , ๅๅฟ ้กปๆไปฃๆฐๅ็บฆๅๆ ).
4. ๅ ณไบไปฟๅฐๆ ๅ ณๆงไธ้้ๅๅ็บฏๅฝข็่กฅๅ ่ฎจ่ฎบ
ๆ นๆฎ simplex ็ไธฅๆ ผๅฎไน, ๅ็บฏๅฝข็้กถ็นๅฟ ้กปๆฏไปฟๅฐๆ ๅ ณ็. ไธ่ฟฐไปฃๆฐๆจๅฏผๅฆๆ่ฆๅฎๅ จๅฅๅ่ฟไธไธฅๆ ผๅ ไฝ้ๅถ, ่ฎบ่ฏไพ็ถ่ชๆดฝ:
ๅฝ ๆถ: ้พ ไป ๅ ๅซๆ้ไธช ็ปดๅ็บฏๅฝข, ๅฎไปฌ็ไปฟๅฐๅญ็ฉบ้ด็็ปดๆฐๆ้ซไธบ . ๅ ไธบ , ๆ้ไธช ็ปด็ๅญ็ฉบ้ด็ๅนถ้็ปๅฏนๆ ๆณๅกซๆปก . ๅ ๆญคๆไปฌๆปๆฏ่ฝๅจ ไธญ้ๅบไธไธช็น , ไฝฟๅพ ไธๅฑไบไปปไฝ ็ไปฟๅฐๅญ็ฉบ้ด. ่ฟไฟ่ฏไบๆฐๆทปๅ ็ ๅฟ ็ถไธๅ ็้กถ็นไปฟๅฐๆ ๅ ณ, ็ๆ็ ๅ จๆฏไธฅๆ ผๅๆณ็้้ๅๅ็บฏๅฝข
็ๆ ๅต
ๅฆๆๅฐ ่งไธบๅฝขๅผ้พ (Formal Chain), ๆฏไธๆ็ซ็๏ผไฝๅฆๆๅฐ ่งไธบๅฏน็ฉบ้ด็โๅธฆ็ฌฆๅทๅ ไฝ่ฆ็ (Multiplicity)โ, ้ฃไนๅฎ็ๅ ไฝๆฑๅ็กฎๅฎๅคๅคไธบ
- ไปฃๆฐไธ
(ไปฅ ไธบไพ): ๅจ็ด็บฟไธๅไธไธชไธๅ็็น . ไปปๆไธค็นๆพ็ถไปฟๅฐๆ ๅ ณ, ๅ ๆญคๅฎไปฌๆๆไบๅๆณ็ ็ปด simplex. ๅฎไน ็ณปๆฐ็ -chain: , ๆปก่ถณ , ไฝไปฃๆฐไธ
้ซ็ปดๆจๅนฟ: ๅจ ไธญ้ๅๅคไบไธ่ฌไฝ็ฝฎ็ ไธช็น , ๅณไปปๆ ไธช็น้ฝไปฟๅฐๆ ๅ ณ. ไปไธญไปป้ ไธช็น้ฝ่ฝๆๆๅๆณ็ -simplex. ไปค ๆ นๆฎ simplex_boundary_of_boundary_is_zero ็ฑปไผผ็ไบค้ๆตๆถๅ็, ๆ ไธ
- ๅ ไฝไธ
ๅฐฝ็ฎกๅฝขๅผ็ปๅไธไธบ , ไฝๅฆๆๆไปฌๅฐ -chain ็ไฝๅจ ไธ็ๅธฆ็ฌฆๅท่ฆ็ๆ้ๅฝๆฐ, ๅณ็น ่ฝๅจ ไธญๆถๅ ๅ ๆ้ , ๅ่ฏๆ๏ผๅฝ ๆถ, ๅฏนๅบ็็ฉบ้ดๅ ๅ ๆ้ๅฟ ๅฎๅคๅคไธบ .
ๅฏน ไธญไปปๆไธ็น , ๅ่ฎพๅ ถๅคไบไธ่ฌไฝ็ฝฎ, ไธ่ฝๅจไปปไฝ ็ไฝ็ปด่พน็ไธ, ๆไปฌ่ฏๆ ๅค็ๆ้ไธบ .
ไป ๅบๅไปปๆๅผๅบไธๆกๅฐ็บฟ . ๅ ไธบๆๆ ้ฝๆฏๆ็็ๅธๅ , ๅฝ ๆถ, ๅฐ็บฟๅฟ ็ถ่ฑ็ฆปๆๆๅ็บฏๅฝข, ๆญคๆถๅค้จ็่ฆ็ๆ้ไธฅๆ ผไธบ .
็ฐๅจๆไปฌๆฒฟ็ๅฐ็บฟไป ๅๅๅพๅ่ตฐๅฐ . ็ฉบ้ด็่ฆ็ๆ้ๅชๆๅจๅฐ็บฟ็ฉฟ่ฟๆไธชๅ็บฏๅฝข็ ็ปด facet ๆๅจ่ถ ๅนณ้ข ๆถ, ๆไผๅ็่ทๅ.
ๅฐ็บฟ็ฉฟ่ฟๆ็ฉฟๅบไธไธชๅ็บฏๅฝขๅธฆๆฅ็ๆ้้ถ่ท , ๅฎๅ จ็ฑ่ฏฅๅ็บฏๅฝข่ตไบๅ ถๆๅจ facet ็่ฏฑๅฏผๅฎๅๅ็ณปๆฐๅณๅฎ.
็ฑไบไปฃๆฐๅๆๆฏ , ่ฟๆๅณ็็ปๆ ็ๆๆ ็ปดๆๅ้ข็็ณปๆฐไนๅไธฅๆ ผไธบ . ๅ ทไฝๅฐๅฑ้จ่ถ ๅนณ้ข ไธ, ไปปไฝ่ดก็ฎไบ่ฏฅ ็ปด้ข็็ธ้ป -simplex, ๅ ถๅธฆ็ฌฆๅท็ณปๆฐ ไธๅ ถ่ฟๅ ฅ/็ฆปๅผ็้ถ่ทๅฟ ้กปๅฎๅ จ็ธไบๆตๆถ.
ๆข็ถๅฐ็บฟๅจ็ฉฟ่ฟไปปไฝ่พน็ ๆถ, ๅ simplex ็่ฟๅบๅผๅ็ๆปๆ้ๅๅ้้ฝๆปก่ถณ , ไธๅจ ๅคๅๅงๆ้ไธบ , ้ฃไน้กบ็ๅฐ็บฟไธ่ทฏ่ตฐๅ่ตท็น, ็น ๅค็ๆปๅ ๅ ๆ้ๅฟ ็ถๆไธบ .
ไป่ไปๅ ไฝๅฎไฝ็่งๅบฆไธ็, ่ฟไธช้พๆไปฃ่กจ็ๅบๅ็กฎๅฎ่ขซๅฎๅ จโๆญฃ่ด็ธๆถโๆไบ้ถ.
Prop [uniqueness_of_n_hull_chain_with_boundary]
Proof
[homology_hole] ๅฏนไบ้ๅ ๅๅปๆ้ไธชๆๅฏๆฐไธชๅ็ฆป็็บฟๆงๅญ็ฉบ้ดๆ่ ๅค้ขไฝ, homology ไธๆฏ้ถ
[Stokes_theorem]
็ฑปไผผไบไธ็ปด ๅพฎ็งฏๅๅบๆฌๅฎ็. ็ด่งไธ, ๆฃๅบฆๅๆฃๅบฆๅฎ็ = ้ซ็ปดๅพฎ็งฏๅๅบๆฌๅฎ็
ๅจๅๆ ้ๅฎไน [exterior_differential] , ๅ ถไธญ ๆฏๅๆ ็ไฝ็งฏ, ่ฎก็ฎ็ปๆไธไพ่ตไบๅๆ ้ๅ
ๅๆ Stokes-theorem
ๅฏนไบ ๅฏๅฎๅ ็่งฃๆ็ๅธฆ่พนๆตๅฝขๅ form
or
ๅฆๆๅจๅๆ ไธญๅฉ็จ box ่ฎก็ฎ , ๅ ถไธญไผๅบ็ฐๅฏนๅๆ ่ฝดๆนๅ่ฎก็ฎๅฏนๆไบไธ่ฅฟ็ๅๅพฎๅ , ็ปๆๅฐๆฏ
ไฝๆฏๅจไธ็ปดๅพฎ็งฏๅๅบๆฌๅฎ็็่ฏๆไธญ, ไธ็ปดๅบ้ด็ๅๅฒ, ไธ็ปดๅบ้ด็่พน็, ไธ็ปดๅบ้ด็่พน็็็งฏๅ, ้ฝๅฉ็จไบ โ็ดโ ็็ฎๅๆง, ่้ซ็ปดๅบๅๆ โๅผฏๆฒโ, ๆ ๅตๅๅพๅฐ้พ
[Stokes_theorem_simple] ๅฏนไบ้ซ็ปด, ๅฏไปฅๅ ๅค็็ด็ไธ่ฅฟ i.e. simplex/hull/ๅนณ่กไฝ. ๅๅฒไนๆฏๅ็ฑปๅๅบๅ, ่พน็ๆตๆถไนๅพ็ฎๅ. ๅ็ฑปไผผไบไธ็ปด, ็จๅพฎๅไธญๅผๅฎ็่ฟไผผ + compact ๆงๅถๅณๅฏ. ่ฟๆ ทๅฐฑ่ฏๆไบ simplex/hull/ๅนณ่กไฝ็ Stokes ๅฎ็
[Stokes_theorem_proof] Question
ๆ็ ง็ด่ง็ๅฏนๆตๅฝข็็งฏๅๅ Stokes ๅฎ็็ๅค็, ๅบ่ฏฅ่่ไฝฟ็จๅฐๆตๅฝข็ดๆฅๅๅฒ็ๆนๆณ
็งฏๅไธญ็ๅๅฒ็ดๆฅๅฏไปฅ็จ้ถ้ถๅฏๆต้ (ๅฏนๅพฎๅๅ่ๅฐ้ญ), ไฝๆฏๅคช็ฒ็ณไบ้พไปฅๆงๅถ่พน็. Stokes ๅฎ็ไธญ็จไบๅๅฒ็ๅบๅๅบ่ฏฅๆฏ็ฑปไผผๅ ไฝๆตๅบฆ่ฎบ (ref_33) ็ๆ้ๅจ้ฟ้ (sets of finite perimeter, Cacciopoli sets), ๅธๆๅฎไปฌๅฏนๆ้็ๅนถ้ไบค้ๅ้ๅฐ้ญ, ๅฏนๅพฎๅๅ่ๅฐ้ญ
่ฏๆๅธฆ่พนๆตๅฝขๅฑ้จๆฏ่ฟ็งๅบๅ (ๆ นๆฎๆตๅฝขๆง่ดจๅฏปๆพๅค้ขไฝ่ฟไผผ), ไธ่ฟ็ง็่ฎบ็่พน็ไธ็็งฏๅๅบ่ฏฅ้ๅไบๆตๅฝข็่ฎบไธญ็่พน็ไธ็็งฏๅ (็ฑปไผผๅ ไฝๆตๅบฆ่ฎบ็็บฆๅ่พน็ (reduced boundary) ็่ฎบ). ่ฏๆ่ฏๅฅฝ็ๅธฆๅฅ็นๆตๅฝขไนๅฑไบ่ฟ็งๅบๅ i.e. ๅค้ขไฝ, ้ฅ, ไฝ็ปดๆฐ ็ๆง่ดจ่ฏๅฅฝ็ๅฅ็น
Stokes ๅฎ็็่ฏๆๆฏ, ็จ่ฟ็งๅบๅๆ้่ฆ็ form ็ compact support, ๅๅป้ๅค็, ๅๅฒ, ็ถๅ็จๅๅฒๅบๅ็ Stokes ๅฎ็, ็งฏๅๅจๅ ้จ่พน็ๆตๆถ, ๅชๅฉไธ็ๆญฃ็ๆตๅฝข็่พน็
่ฝ็ถๆๆณๅ้ฟ compact support ๅฏๅพฎ form, ไฝๆฏๆไบๅฐๆน้่ฆๅฐๅฟ. ็ๅ ๅซ้พ ( ไธ็) ่ฏดๆ form ๅๅ ถๅคๅพฎๅ็ (ๅฑ้จ) Sobolev ๆ่ ็ปๅฏน่ฟ็ปญไผ็ฑไบๆฒกๆๅพฎๅไธญๅผๅฎ็่ไธ้ๅๅ ไฝๅฐๅฎไนๅคๅพฎๅไธบ่พน็็งฏๅ้คไปฅไฝ็งฏ็ๆ้็ถๅไฝฟ็จๅพฎๅไธญๅผๅฎ็ๅ้ๅฟๅๅฒๅ ไฝๅฐ่ฏๆ simplex ๆปก่ถณ Stokes ๅฎ็. Sobolev ๆ็ปๅฏน่ฟ็ปญไป็ถๅฏนๆฏไธชๅฑ้จๅ ๅๅฐ็ simplex ๆปก่ถณ Stokes ๅฎ็. ไบๆฏๅฆๆ็ปๅคๅพฎๅๅ ไธๆ็ๆง, ้ฃไน็กฎๅฎๅฏไปฅ็จ็งฏๅไธญๅผๆฅๆงๅถ. ็ถ่ไธญๅผๅฎ็ๅฐฑๆฏ Lipschitz ็ๅฎไน (ๅฏน simplex ไฝ็งฏ), ่ๅ็บฏ็ (ๅฑ้จ) Lipschitz ไนๅฐไผ่ดๅซๅ ไนๅคๅคๅญๅจๅพฎๅไธๆฏ (ๅฑ้จ)
็ form ็ๆไน. ๅช่ฆๆ ็ปดไปฟๅฐๅญ็ฉบ้ด็ไฝๆตๅฝข (ไพๅฆๅจไธ้ข้ๅไธไธช ๅบๅปบ็ซๅๆ ็ณป), ๅฎไปฌๅฐฑๆ่ชๅทฑ็ไฝ็งฏ. ้ๅ ๅญ็ฉบ้ด็ไธไธชๅบไนๅ, ้็นๅฎไน็ form ๅฐฑ่ฝๅจไธ้ขๅๆๅฎๆฐๅผ. ๅฎไนไปปๆ simplex ็่พน็็ๅฏ็งฏ้่ฆ form ๅจๆฏไธช ๆนๅ้ฝๅๆๅฏ็งฏๅฝๆฐ. ็ฑไบ form ็ฉบ้ดๅ็งฏๅ็็บฟๆง, ๅช้่ฆๅฏน ๆนๅ็ฉบ้ด (ๅฏนๅบ ็ ไบค้ๅผ ้็ฉบ้ด) ็ไธไธชๅบไธๅๆๅฏ็งฏๅฝๆฐ, ไนๅณ่ขซ็งฐไธบ โ ็ form ็ๅ้ๆฏๅฑ้จ ็โ. ่ณๅฐ่ฟ็ง form ๅจๅพฎๅๅ่ไธไฟๆ, ๅฐฑๅฆ Lebesgue ๅฏๆต้้ฃๆ ทไนๆฏๅจๅพฎๅๅ่ไธไฟๆ. ๅๅไธๅฏไปฅ่ฏด form ๅจๆฏไธช ๆนๅๅฏผๅบ็ ๅญ็ฉบ้ด็ๅฎๅผๅฝๆฐๅฏไปฅ่ขซๆ้ๅธธ็งฏๅ ็ form ็็งฏๅ็ๅซไน้ฃๆ ท็ฑ support ๅจ simplex ไธ็ๅๆฎตๅธธๅผๅฝๆฐ้ผ่ฟ. ๅฆๆไธๅ่ฎพๅฏๅพฎ form, ้ฃไนๆไปฌ็่ณ่ฟๆฒกๆๅฎไนๅคๅพฎๅ, ไนๆฒกๆ่ฏๆ simplex ไธ็ Stokes ๅฎ็
ๅฐ่ฏไป็งฏๅๅผๅงๅฎไนๅพฎๅ, ไฝไธบ็ปๅๆตๅบฆๅๅพฎๅ็ไธ็งๆนๅผ. ๅ ๅฎไนไปไนๆฏๆปก่ถณๅฑ้จๆ ็ฉทๅฐ Stokes ๅฎ็็ form โ ๅฏ็งฏ็ๆฌ็ๅฏๅคๅพฎๅ form โ ๅๅฉ็จๆปก่ถณๅฑ้จๆ ็ฉทๅฐ simplex ๅบๅ็ Stokes ๅฎ็็ form ๅปๅค้ขไฝ้ผ่ฟๅผๅฐๅฎไนไปไนๆฏๆดไฝๆปก่ถณ Stokes ๅฎ็็ๅบๅ
็ถๅ็จ form ็ๅนณๅๅฏผๆฐ ๆฅๅฎไนๅ ถๅคๅพฎๅ
ๆฅไธๆฅๅฐฑ้่ฆๅฏน simplex ่ฏๆ Stokes ๅฎ็. ็จ้ๅฟๅๅฒๆๆฏ, ๅฏๅพฎ form ็่ฏๆไฝฟ็จไธญๅผๅฎ็ๆไพ็ไผฐ่ฎก
็ถๅๆไปฌๅฐฑๅฏไปฅๅฐ่ฏๅฎไน็ฑปไผผๆ้ๅจ้ฟ้็ โๅฏไปฅ Stokes ๅฎ็็ๅบๅโ ไบ, ๆ่ ๅซๅๆ้ๅจ้ฟ้. ้่ฆ็้ๅถๆฏ, ็ด่งไธ, ๅจๆๆๅฏๆต้ไธญ, ๆไธ้จๅๅฏๆต้ๆๅฏไปฅ่ฟ่กๆดไฝ Stokes ๅฎ็็่พน็ๆง่ดจ. ็ด่งไธ, ่ฟ็งๅบๅ็้ๅถๆกไปถๅบ่ฏฅ็ฑปไผผไบ, ๅจ้ผ่ฟๅฏๆต้็ๅค้ขไฝ็ฝไธญๅญๅจๅญ็ฝ่ฏๅฅฝๅฐไธ่ดๆงๅถๆๆๅฝไธๅๆๅฐๅฝฑๅ็ๅฏ็งฏๅฏๅคๅพฎๅ form (ๆ่ ๅ ถๅฎไปไนๆดไธ่ฌ็ไธ่ฅฟ) ๅจ้ผ่ฟๅค้ขไฝ็่พน็ไธ็็งฏๅ
ๅ ไฝๆตๅบฆ่ฎบไธญ็ๆ็ๅๅทฎๅฝๆฐๅๆ้ๅจ้ฟ้็ๅ ณ็ณปๅฐฑๅ้ถ้ถๆตๅบฆ่ฎบไธญ็ๅฏ็งฏๅฝๆฐๅๅฏๆต้็ๅ ณ็ณป
็ฑไบๅคๅพฎๅๅชๆไธ้ถๅพฎๅ่ไธๅญๅจๆ ็ฉท้ถๅคๅพฎๅ, ๅ ๆญคๅจ metric ๆตๅฝขไธ็ form ็ norm ๅฐฑ้ๅ Banach/Hilbert ็ฉบ้ด็่ฎบ (ๆ ็ฉท้ถๅพฎๅๅฐฑไธ้ๅ Banach ็ฉบ้ด็่ฎบ)
็ฑไบๆตๅฝข็ๆๆๅฏ่ฝๅ่ฐ้ๅนณๅก, ๆไบไธๅ่ฐ้้ถ็ form ็ๅคๅพฎๅ ๅจ็งฏๅๆถๆ ๆณๅ ้จ่พน็ๅ จ้จๆตๆถ, ๅ ๆญคไผๆ็ฑปไผผไบๅคๅๆไธญ็้ขๅค็ โ็ๆฐโ. ไพๅฆ, [cohomology_hole] Example in , or , ๆปก่ถณ , ๆไปฅๅจ ไธ็งฏๅๆฏ้ถ, ไฝๆฏ ๅจ ็่พน็ ไธ็็งฏๅ้้ถ. Example ๅ่ฐๅๆไบ ็
ๅจ็งฏๅๆถ่พน็ๆ ๆณๆตๆถ็ๅฆไธ็งไพๅญ: ๅๆฌๅจ้ญ็ ไธๆ็ซ Stokes ๅฎ็็ๅ้ๅบๆ่ form ๅจๅ ๅป ็่พน็็ไธไธช็ฑปไผผ้ญๅ็็ๅบๅๅ, Stokes ๅฎ็ไธๅๆ็ซ. ็ด่งๆฅ่ฏด, ๅ ๅปไธไธช้ญๅ็ๅ, ้้ๅฐฑๆผๅบๆฅไบ, ่ฏดๆๆฐ็่พน็ๆฒกๆๅฐ้ญไฝๆตๅฝขๅ ้จ. ๅฆๆไธๆฏๅ ๅป้ญๅ็่ๆฏๅ ๅปๅผๅ็, ้ฃไนๅพๅฐ็ไธๆฏๅธฆ่พนๆตๅฝข, ๆไฝ็ปดๆฐ > 1 ็่พน็, ไธไธๆปก่ถณ่พน็็่พน็ๆฏ้ถ
ๅฏ่ฝ่ฆ่่ๆ็ง compact ็บฆๆ, ๅ ไธบ non-compact ๅธฆๆๆ็งๆ ็ฉท่ฟไฝฟๅพ่พน็ๆตๆถๅคฑ่ดฅ, ๅฏ่ฝไผๅบ็ฐ็ธๅฏนไบๆ ็ฉท่ฟ็็ๆฐ้กน
ๆๅนถๆฒกๆๅฏนๆฒกๆ่พน็็ๆตๅฝขๅค็ Stokes ๅฎ็, ๅนถๆฒกๆๅฎไน . ๆฒกๆ็่พน็ๆตๅฝข Example
้ดไบ Cantor ้ๆ้ ็ๅไพ, ๅ ไนๅคๅค่งฃๆไธๆฏๅค็ๅฅ็น็ๆญฃ็กฎๆนๆณ.
่พน็็ฎๅญไธๅคๅพฎๅ็ๅฏนๅบๆง่ดจ
homology
cohomology
[coboundary_operator]
coboundary
cocycle . ็ด่งๆฏ form ๅจ่ฟไธ็น็ๆฃๅบฆๆฏ้ถ
or . ็ด่งไธๆฃๅบฆๅบๆฏๆ ๆฃ็
or
[de_Rham_cohomolgy] k-th de Rham cohomology
in , cohomology trivial
metric ๆตๅฝข็ๆ ๅต
ๅฏน form ็็งฏๅ็ธๅฝไบๅฏน ็็งฏๅ
[Hodge_star]
Hodge star ็ฎๅญ as form ็ๆญฃไบค่กฅๅฏนๅถ
with ==>
==>
[flux]
ๅฏน form ็งฏๅ -> ๅฏน ็งฏๅ -> ๅฏน ็งฏๅ, ่งฃ้ไธบ้่ฟ ็ๆญฃไบค่กฅ ็้ ๅฏน ็งฏๅ, i.e. ้้
็จ metric_dual ไปฃ่กจ้้ ไบค้ๅผ ้, ๅ ็งฏไปฃ่กจ้ ๅจ้้ๆนๅ ไธ็ๆญฃไบคๆๅฝฑ
Example in Euclidean , (ๅพ)
- form
ๅๆ
Stokes ๅฎ็ [gradient]
- form
ๆณจๆๆญคๆถๅฏไปฅๅ ไธๅฏๅฎๅไบ็ปด็ โๆ่ฝฌ 90 ๅบฆโ ไปไบ็ปดๆฃๅบฆๅๆไบ็ปดๆๅบฆ, ๅฏน่พน็็ๆณ้้ๅไธบๅฏน่พน็็ๅๆต้
ๅๆ
Stokes ๅฎ็ [curl]
where
- form
ๅๆ
Stokes ๅฎ็ [divergence]
in Minkowski ,