Euclidean 的方向空间是
的方向空间 上也可以定义任意两点 之间的 “距离”: 从 的 “metric” 限制在 上, 可以得到 的 metric, 然后用 的 metric 可以定义 上的距离, 作为连接两点多最短测地线的距离
保持 的 metric 的映射叫做 的 isometry. 可以证明 的 isometry 是仿射映射. 的 (保持定向的) isometry 是 . isometry 中固定原点的部分是 , 它也保持 方向空间 且保持 上的 metric 从而保持 上的距离
称为旋转
的元素 . 集合论上等价于
作用在 和作用在 是兼容的
这样, 我们可以定义 上的乘法为对应的 的乘法
同时因为 是线性映射而得到有分配律
[complex-numbler-geometric-meaning] 这等同于单位复数的乘法. 由于旋转 和纯量乘法 是交换的, 单位复数上的乘法可以轻松延拓到复数 上的乘法
[angle] 角度
可能不是完美的动机
直觉上, 在 Euclidean , 我们可以 “旋转”, 并且旋转的复合对应 “角度” 的相加
角度应该是 上的距离, 连接两点多最短测地线的距离.
我们定义的旋转是保持 距离的群, 还没直接解释直观意义上的旋转.
直观上可以知道, 上可以连续地给每一点都定义一个 “切空间正方向”
对于 , 切空间正方向是
可以猜测, 直观上的旋转就是 上每一点沿正方向移动 距离/弧度/角度
问题是, 如何理解保持 距离 (和定向) 的 就等价于这种直观上的旋转?
至少从结果上, 我知道
- 正方向切场 是一种无穷小 isometry (被称为 Killing field), 是 isometry group 的 Lie algebra. 而每点沿正方向移动 距离 (沿测地线), 就是从无穷小 isometry 生成 isometry 的方式, 即 Lie algebra 的
-
由于测地线是沿向量场的积分曲线的一种, 所以移动距离的加法同态于群作用的乘法
这也会给出交换性
对于 为起点的测地线坐标, 结果记为 [trigonometric-function] 三角函数 .
根据 乘法和 乘法的对应, 我们知道
因此 也是对 其它点旋转 的作用
根据同态
根据 的幂级数表示, 根据 处的正方向单位切向量是 对应到
可以得到
用复数来表示的话
且有
or or
复共轭就是距离不变但方向逆 or
类似地, 双曲和 split complex
-
give
-
give
的定义类似于 三角函数和角度的定义. 将 限制在 得到 Euclidean 型 metric 流形 (Riemannian manifold). 从 出发的测地线行走 得到 , 投影到 轴得到双曲余弦和双曲正弦
通过 联系到 split-complex
. 距离也可以 表示.
[hyperbolic-exp-inverse]
单调递增
解二次方程 得到逆映射
inverse
Question 推广到四元数 和八元数 及其 split 版本
反过来, 如果我们承认角度可加 (同态) 这种概念, 那么就会提供动机之于: 的 Euclidean norm 是 而不是别的 norm. (norm 定义为 .)