note-math

compact 的原初的启发: 的闭区间网的交集非空 closed_interval_net_theorem

是 的 的 极限点. 网 看似收敛到

但是

比较乘法反演的

没有 对应到可能的极限

比较

let 拓扑空间. let

[compact] compact := forall net of , exists , forall , forall ,

含义: 任何 网 的元素在拓扑 下存在共同的极限点. 或者, 经过 闭包后网 收敛到非空集 or 交集非空, 而不是收敛到空集 (例如 Euclidean 收敛到空集或者收敛到无穷远, 但还有很多其它复杂的情况)

通过等价 limit <==> image net finer, 也可以用任意 source_net_space -> target_topology_space 函数, 代替任意 的 net , 来表示 compact. 虽然这会引入 “额外” 的定义域 source_net_space

根据极限点和闭集的定义, compact 等价于: forall net of ,

任何网都可以补充所有的有限交集并保持 相同的极限, 所以对于 compact, 等价的描述是

compact <==>

逻辑等价于

逻辑等价于 [compact_finite_open_cover]

[compact_subset] := topology_subspace compact

recall closed_in_subspace, , 记为

compact-subset 逻辑等价于

逻辑等价于

逻辑等价于 [compact_subset_finite_open_cover]

compact-subset 对有限并集封闭. this is easy to proof

[closed_set_in_compact_space_is_compact] compact and closed ==> compact

Proof

Hausdorff 空间 :=

Hausdorff + compact ==> closed. 此时 compact 对任意交集封闭

[continous_preserve_compact] let . is compact-subset of

Proof

逆否命题: 连续函数下, non-compact 逆像是 non-compact 的

[quotient_topology_preserve_compact] 对于 quotient_topology , 源空间 compact ==> 商空间 compact. by 商映射 连续所以保持 compact

[product_topology_preserve_compact] product_topology 保持 compact

Proof