[complex_number] 复数.
加法和 相同. 乘法使用 or 和分配律
复数 or 的来源
- 谐振子 ODE 的特征方程
-
复数的另一种动机来自多项式的因子分解. 实多项式分解能够完全为 或 的形式的相乘, 而后者能在 中分解为 的形式, 特别地, . 于是为了方便, 可以选择使用复数.
你仍然可以选择认为这只是一种代数方便, 不需要复数的几何
但是在下面的 split complex 中却无法分解 为一阶多项式. 甚至 有四个根, 除了 , 多了两个根
Eaxmple [split_complex_number] 分裂复数.
加法和 相同. 乘法使用 or 和分配律
也参见 复数的直观解释, 了解单位复数乘法和 的旋转 的关系
[normed_division_algebra]
有二次型 , 有乘法 , 且单位 (二次型) 距离的元素 的乘法 也是单位距离的
将单位距离和 纯量乘法结合起来后, 这种性质可以表示为
- 对应
by
- 对应
by
null elements 没有乘法逆
[quaternion]
从 或 开始 , 加入新的虚数元
-
定义其它虚数元
-
不同虚数元反交换
-
虚数元共轭取反 or
这使得
- 虚数元乘法结合
- 满足 norm 乘法
- 如果是从 开始, , 于是
- 如果是从 开始, , 于是
-
give
-
give
Eaxmple [octonion] 在 (其中 ) 中使用新的虚数元
定义其它虚数元
不同虚数元反交换
不同虚数元反结合 如果
虚数元共轭取反
这使得
- norm 乘法
同理, 根据 和 给出 octonion for 或 split octonion for
-
give
-
give
从 和虚数元结合律得到的是另一种代数 , 不满足
[imaginary_automorphism] 新虚数元构造方法并不是无坐标的, 所以我们需要考虑虚数元的 automorphism with . 由于保持乘法, 所以自动保持距离
Example for it’s symmetric
Question (ref-21, p.35) (ref-22, p.85)
- for
- for .
as automorphism of 说明了, 没有额外的结构, 例如乘法 和 , 只有单纯的线性空间结构, 无法给出 之类的特殊群. (虽然据说所有 compact group 都能存在矩阵表示.)
[problem_of_quaternionic_linear]
尝试给 定义线性代数. 我们立刻遇到问题: 线性映射的一种定义是作为线性空间之间的同态, 但由于 非交换, 纯量乘法不能随便和同一边的矩阵乘法交换 , 从而 的矩阵乘法不是线性变换
所以, “线性结构” 定义为, 例如, 左边矩阵乘法作为线性映射 , 右边纯量乘法 , 使得线性映射是线性结构的同态 .