[integral_of_piecewise_constant_function]
根据 simplex 交集和减集的分解, 分段常值函数的有限加减仍然是分段常值函数
定义积分距离 . 或者用 norm
[Lebesgue_integrable]
:= 存在分段常值 使得 且
对 同理
在分段常值空间, 类似于可测集的定义, 对于积分距离, 三角不等式, 极限唯一
[Lebesgue_integral]
使得可以定义 和
Example 但是需要注意, 存在网积分距离收敛但不逐点收敛到极限函数
二等分行走序列是积分距离收敛的, 测度趋于
它不遵循逐点收敛的定义
虽然概念直觉上它收敛到空集
[integrable_exist_subnet_almost_everywhere_pointwise_convergence] (ref-5, p.129–130)
定义出来的可测集是 Lebesgue 可测集, 可能不连通
我们定义的是绝对可积. 其它的积分操作, 例如 , 是基于绝对可积的特殊的极限操作, 和问题的上下文语境有关
线性换坐标 给出积分变量替换公式
[integral_on_form] 对于 区域的积分, 函数对体积积分等价于对 form 积分. 如果认为是对 form 积分, 则积分是 invariant 的
[integral_change_of_variable_formula]
let 几乎处处解析
积分的微分同胚的变量替换公式 or
将换坐标映射的微分 at 每个 simplex 中心 as 仿射映射作用于定义域 simplex 得到值域 simplex 用于近似, 对有界区域对 微分中值定理 (高阶) 近似进行 compact 一致控制, 然后取分割极限 (ref-12, p.92–99)
然后无界区域是来自有界区域的可数逼近, 技术
如果认为是对 form 积分, 则积分变量替换等价于 form 积分 (cf. integral_on_form) is 微分同胚 invariant
[integral_on_manfold] Question
根据变量替换公式, 流形上的坐标里的对 form 的积分 invariant (cf. integral_on_form)
但是如果想要对定义在整个 可定向 流形上的 form 进行积分, 应该怎么做?
为了定义积分, 需要某种可数化假设, 例如流形可以被可数的坐标卡覆盖
坐标卡交集的地方的积分是重复的, 需要去除重复
用矩形和 simplex 定义的测度和积分都是等价的, 因为矩形和 simplex 可以相互可数逼近
[Fubini_theorem]
因为矩形区域的分段常值是可 product 分解的, 再用绝对收敛的上界控制
Fubini theorem 2 … (ref-5)
Fubini 定理可以用于证明函数图形下方的体积计算就是对底部体积对高度函数积分
Example 极坐标, 2d, 3d, 双曲 …
area coarea 公式 …
[low_dim_integral]
维空间的 form 对 simplex 的积分是 invariant 的, 并不需要对低维 simplex 定义体积
两个 阶 simplex 即使相邻, 它们在 维空间的 子空间也可能不同, 从而 方向不连续, form 可能有不同的值. 这不同于 阶的情况, 余维数零所以 simplex 都是相同的方向
良好的 维区域应该需要让 方向有良好的正则性, 例如 维微分子流形, 利用子流形的切空间