点网系统 := 每个点都有一个 点网 .
Example Euclidean 空间的所有球 组成的点网系统
点网系统不足以作为拓扑空间的定义. 例如, 无法证明闭包是闭集 i.e. 闭包的封闭 . 例子: 设 . 设 的点网只有一个元素 . 设 的点网只有一个元素 . 则 的闭包是 , 再次闭包是
[topology] 定义为点网系统 + 任何集合 的内部和外部的极限分离
- 内部
- 外部
-
极限分离
边界定义为 . 它的点可能属于 也可能属于
只需证明 的情况, 就可以得到 的情况. 也等价于证明所有内部都是开集 () 或者所有闭包都是闭集
的开区间网生成拓扑的证明方法是使用距离函数和下确界, 证明点在内部 ==> 存在 使得
Minkowski_space 中, 一点 有多个不极限等价的网
[continuous] 拓扑连续 := 对每个开集 with , 存在开集 with 使得
Note: 仅仅每点 是极限 hom_limit 是不够的, 保持极限似乎并没有连续强. 仅仅保持极限并不能证明连续函数的逆像保持闭包 (subset 意义上的保持 )
let
[limit_point] 极限点 :=
==> 是 的极限点
的极限点集是内部 + 边界
外部极限点 := , 是外部 + 边界
对一般网, 需要分类不同的类型极限点
[closure] 闭包 := , 是 极限点
的闭包 是所有 极限点的集合
Example 拓扑下, 开区间 的闭包是闭区间 . 的闭包是
[closed] 是闭集 :=
是闭集 <==> 包含所有 极限点
forall , 是闭集. Proof 其它点不满足
是包围 的最小闭集. Proof and 闭集 ==>
极限点 可以分类为孤立点或聚点
孤立点 :=
聚点 :=
连续函数不保证把闭集映射到闭集. Example 将 映射到
[continuous_closed] 连续 <==> 每个 拓扑闭集的逆像都是 拓扑闭集
[open] 开集 := 内部是自身
是 里面的最大开集 Proof
[union_preserve_open] 设 是一族开集, 则 也是开集
Proof 对 , 取 使得 . 是开集, 取 , . 于是由于并集 所以 , 从而 , 从而 从而 是开集
[finite_intersection_preserve_open] 是开集 ==> 是开集
Proof 设 . 取 . 由网的定义, . 而且 . 因此 .
[continuous_open] 连续 <==> 每个 拓扑开集的逆像都是 拓扑开集
Proof ==>. 对 开集, 对每个 且 , 取开集 使得 . 然后开集的并集是开集
由于这不再是逆像描述版本, 所以不能将这里的开集改为闭集. 反例: 不连续函数 . 那么包含 的闭集 的逆像与闭集 的交集也是逆像, 而 .
[continuous_imp_inv_image_closure_subset_closure_inv_image] 连续 ==>
的反例. 用 . 取 , 那么 从而 从而 . 但是 从而
是解析函数而不仅仅是连续函数
[continuous_imp_interior_inv_image_subset_inv_image_interior] 连续 ==>
的反例. 设 是常值函数 . 设 , 则 , . 但是 所以
开集版本的拓扑到 net 版本的拓扑: 对开集补充所有有限交集, 得到每一点处的网. 可以用网的开集构造方法来恢复开集