note-math

let 映射

[permutation] 以下等价

• 到自身的双射 , 叫做置换
• 排列
• 阶置换. 数量 . 通常记为

[combination] 以下等价

• 中选取子集 with
• 选取子集 with

• 选取置换 with
  另一个置换 给出相同的划分 if

  定义这种相同的划分的置换的 [quotient] , 划分 的逆像

商集 的基数计算

记为

所有 组合 <==> 所有 在 中选取子集 with

是从 个中可重复选 次的数量

用归纳法计算或者直接观察, 可得

[binom-expansion]

vs Newton 二项式

[multi-combination] 类似地, 以下等价

• 重组合. 选取 with
• 划分 with and

• 选取置换, 且 quotient

总数量 , 即从 个中可重复选 次的数量

可以这样理解. 重复 次选取 , 数量 <==> 映射 的数量

的映射被划分为输出 个 , 满足

划分 , 分别输出 个 , 其数量就对应多重组合

what is ?

[dimension-of-symmetric-tensor] 也得到对称张量空间 的维数是 , 基

重复数量 会有用于例如计算 归一化

[conjugate-class-of-permutation-is-cycle] conjugate-class of <==> 相同划分的 cycle

cycle := 置换 with

置换的 分解

张量空间的 分解, irreducible represenation