note-math

在平直空间经常混合线性和仿射. 类似地, 在平直空间, 多项式也是如此. 零阶多项式对应着仿射中的基点

先处理一维实数的情况

指数幂函数

[polynomial-function-1d] 多项式函数是幂函数的有限线性组合. (仿射) 基点 , (向量) 偏移

多项式函数表示并不是仿射不变的, i.e. 切换基点 会得到相同阶数但系数不同的多项式函数表示. 伸缩 也是如此

[change-base-point-polynomial] 切换基点

则

Proof 展开计算, 对比 系数得到 的表示. 利用求和的交换来收集 幂函数项

如果在坐标中以 为基点 and 改用符号 , 则多项式函数表示为

从 多项式作为有限线性组合 推广到 可数无限线性组合, 称为函数的 指数幂级数

有些函数的定义并不直接来自 指数幂级数. Example 可以直接通过除法定义, 不需要用幂级数去定义

除了 作为可数无限数据, 还可以用

指数幂函数 改为 指数幂函数 , 会出现新的需要注意的地方

• 需要乘法逆

• 需要解方程 且需要处理解的数量是否唯一的问题

• 在 无界

• 时, 多次导数不会中断

这里暂时只处理 幂级数, 并简称幂级数

现在处理高维的情况 i.e.

如果值域是 则还可以额外定义函数的乘法 和乘法逆

首先尝试将多项式函数和幂级数的定义基于张量 i.e. 多重线性

如无必要, 暂时不需要对所有阶的张量取线性直和 (被称为张量代数)

[polynomial-function] 使用值域 和多重线性函数 . 基点 , 偏移 , 定义多项式函数

仿射变换, 即, 改变基点 i.e. 平移, 或者线性变换 i.e. (包括了伸缩), 都不改变多项式的阶数

可能不共线

推广到 是简单的. 的情况, 由于非交换和非结合, 会很麻烦

可能有不同的张量 给出相同的多项式, 但是一个多项式对应唯一的对称张量

改变记号

• [power-tensor]

可以通过差分 (difference) 技术, 从 阶单项式 or 幂张量 恢复到 阶对称张量

的 阶单项式 中有一项 , 但是有很多其它的干扰项

整个问题对 对称, 所以应该用对称的构造

在二阶

[difference-symmetric-tensor] 对称张量 阶差分

Question 阶差分有什么直观的理解吗?

[successive-difference] 阶差分可以写为 次的一阶差分

where , ,

由于求和的交换性, 逐次差分的顺序不影响最终结果

Proof of difference-symmetric-tensor

对称 多重线性函数 的 对称性 使得 差分 的性质能够被继承

[difference-polynomial] 的 阶差分是

的 阶差分是

由此得到

Prop 多项式函数决定其对称多重线性函数表示

Proof 设多项式 有两个对称多重线性函数表示

先 差分得到相同 . 同时移除 阶项后, 是阶数 的多项式和它的两个对称多重线性表示 . 对 归纳得到结论

对于幂级数, 有限阶差分总是无法给出零

形式上, 可以利用除法和极限来消除高阶项