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  130. 109. 参考

note-math

[flat_metric] (ref-2, vol)

flat metric := 存在坐标使得 标准 metric

的继承自 的子流形 metric 不是 flat_metric, 而是 constant-sectional-curvature.

何时存在 flat metric?

选取一个坐标 , with metric

假设变换到 with metric , 则

联络的变换

对于 flat metric , 从而

等价地

这个性质, 加上 的初值条件, 使得可以用 PDE 恢复 flat metric, i.e. 用于证明

Proof

product-rule 展开以上的微分

关于 的线性 PDE

是可解的 <==> 满足 linear_PDE_integrable_condition

where is geodesic_derivative

or

如果解出了 , 用初值条件再次积分得到 , 得到从坐标 到 flat-metric 坐标 的转换函数

在 flat-metric 坐标 所以测地线 ODE 是 ,所以 flat-metric 坐标将是测地线坐标

不存在 flate metric 坐标时, 则选取 Einstein_metric 作为最小 纯量曲率

现在不假设 flat metric

[curvature_of_metric]

曲率 ( from “Riemann”)

是张量 (尽管 不是)

name-overload: 曲率 := 曲率的 metric_dual

在坐标中

[flat_metric_iff_curvature_0] flat-metric <==> 曲率是零

[curvature_determine_metric_locally]

“flat-metric <==> 曲率零” 可以推广到曲率决定局部 metric

如果两个 metric 及其曲率通过 点之间局部微分同胚联系起来, 且微分是 切空间之间的 isometry, 则局部微分同胚是 的局部 isometry

[curvature_in_geodesic_coordinate]

在测地线坐标的原点 , 通过计算, 通过

  • metric_connection 的定义和曲率 定义

有

or

==> 如果在测地线坐标, metric 的 Taylor 展开二阶微分也是零 则曲率也是零 , 从而导致 flat-metric, 从而高阶微分也是零

[symmetry_of_curvature]

or

==>

Proof 在测地线坐标, 用 or 表示的曲率 的定义

[algebraic_curvature_tensor] 代数曲率张量定义为满足上述对称性 (ref-6, lect 8)

[curvature_product]

模仿 曲率在测地线坐标的定义, 对于二阶对称张量 定义 curvature-product

or

满足 symmetry_of_curvature, 从而 , or

在测地线坐标的原点, 曲率是 (formally)

Def

  • 将 映射到自身且 , i.e. wiki:Projection_(linear_algebra), so

  • 对于交错张量 , , so

[dimension_of_algebraic_curvature] 使用 , 有代数曲率张量空间的维数

where

metric 是一种张量

映射

[adjoint_of_curvature_product] :=

对于 和 和 的 tensor_induced_metric

对每个 , 线性函数

有 空间的 metric-adjoint :=

线性函数 可以用 空间的 metric 表示

在坐标中

是单射, 是满射. Proof 使用复合映射的前置逆和后置逆, 构造方式参考 curvature_decomposition 的计算

metric-adjoint ==>

线性映射 ==>

==>

映射

metric-adjoint :=

for and

so

在坐标中

是单射, 是满射

[curvature_decomposition_space]

正交分解为子张量空间, 且不可再这样分解 i.e. irreducible

[curvature_decomposition] forall , exists , 正交分解

Proof if it’s true then

  • [Ricci_curvature]

    在坐标中

  • [scalar_curvature]

    在坐标中

  • [conformal_curvature] (named so because if it vanish then the metric conformally flat when ) ( from “Weyl”)

类似地, 正交分解 是

trace-free Ricci-curvature

曲率正交子张量空间分解

quadratic-form

[curvature_low_dimension] low dimension curvature

  • span by

  • , only type , and

  • 是双射

  • 完全决定于

let

metric 测地线坐标展开也有曲率的出现

且满足

注意这是求和 的等式, 而不是系数的等式

  • “trace” 也出现在 Taylor-expansion of metric volume-form , 相关于 and

  • “trace” 再次出现在 volume of geodesic ball (for spacetime manifold 应该用 multi radius?)

if scale matric

  • geodesic-derivative
  • curvature
  • curvature metric-dual
  • Ricci-curvature
  • sectional_curvature
  • scalar-curvature

用 signature 来表示时空 metric 时, 就是对 signature 乘以