cf. 纯量场的作用量
对称性与守恒流
- 时空平移
时空平移不固定 “边界”. 变分非零. 类似于点粒子的时间的平移的情况. let
一般地, 区域改变通过 通过 δ diffeomorphism 给出
另一方面, 使用变量替换公式
交换微分和积分
将其应用于
考虑 平移的变分的作用量的微分. let . 一阶微分
use product rule
收集的 项是零 by Lagrange-equation
得到
for all 区域 ==> 被积项也相等
[energy_momentum_tensor_KG]
散度零
for 计算
or
可以看到这个 EM tensor 在指标下降后 是 symmetric 的
再加上 KG 作用量 是实数值, 从而其 EM tenosr 是实数值
假设 的 EM tensor 可对 积分. 使用记号 . energy
一般 potential =>
relativity scalar field 的能量是实数且是正的
[conserved_spatial_integral_energy_KG]
固定 坐标, 认为 是可 积分的量
只要假设通量密度 就有 time invariant of
-
. 场的能量守恒
-
. 场的动量 (?) 守恒
其它 分量 e.g. , 是沿 方向 invariant. 使用 , 的积分及其 . 区域逼近的极限 是对双曲测地线球 (多半径)
Example 对于平面波展开
能量是 (Question)
- 旋转和 boost
对于场, 无论是空间旋转还是 boost, 即使 Lagrangian 不变, 作用量还是改变
现在用记号
-
的空间旋转. 则 所以切向量是
设 是空间旋转轴, 则切向量将是
-
的 boost. 则 所以切向量是
设 是空间 boost 轴, 则切向量将是 ( 时空 metric 有负定空间)
现在用记号 . 旋转和 boost 的切向量合起来记为 , 作为 δ 时空旋转 作用在场 , 作为 δ diffeomorphism
利用 KG 方程, 移项, 得到散度零守恒流
[angular_momentum_KG] let 是 KG 场的能动张量. 场的角动量
or
- 规范场下 KG 场的电流
let 是 KG eq 的解. 相位改变 及其 δ 改变 属于解附近的边界固定的变分, 所以
使用 product rule + 散度量 + Stokes 定理 + 边界零
for all 值函数 , 所以
被称为 KG 场的 4-电流 [current_gauge_KG]
固定 坐标, 认为 4 电流分量是可 积分的量, 则有零分量即电荷守恒 [conserved_spatial_integral_charge_KG]
注意非正定性, 是 anti-Hermitian 的