note-math

如果指数是自然数, 则 . 在 时, 是连续且单调递增的, 所以逆函数也是连续且单调递增的, 记为 . 可以将 推广到有理数幂. 由于连续, 可以将 延拓到 幂函数

另一种方法是, 如果 指数函数 满足性质 and , 解出这种函数

假设 解析. 对 幂级数展开 (需要 的交换性?) (先假设存在满足这种性质的函数 , 推导出形式 , 再反过来证明 满足这种性质)

两边展开

令系数相同
==>

==>

[natural-exponential] def with natural-constant

Todo 证明 满足 . (证明使用的技术: 绝对收敛, 重排不变, 确界, 迫敛性 (其中一边是上确界), “三角形式 (相对于 矩形)” 的求和 )

从级数可以看出, 微分满足 ==> 存在 解析逆

[natural-logarithm] def .

for , def