Example interval best-interval-decomposition
[connected] 连通 or 极限连通 := 极限点集分解不再可能 or 闭集分解不再可能
with closed ==>
直观的说法是, 连通 = 不能给出任何实质的分解. 对任何集合分解 , 由 + 连通, 每个 必定和某个其它的某个 在极限点之后相接:
闭集分解的每个 是开集
Proof
连通的定义等价于分解为两个闭集的版本
with closed ==>
Proof 对分解取极限得到
连通子集 := 拓扑子空间连通
Example 连通. 存在连通和不连通集. 连通集可能不是 闭集
[real-connected-is-interval] 的连通集就是区间 Proof by 区间连通 + 最优区间分解 + 最优区间分解中区间数 不连通
[connected-imply-closure-connected] 是连通集 ==> 是连通集
Proof
close ==> 闭集是 闭集
let 闭集分解
闭集分解 and 连通 ==> 其中一个是空集, say so
但 是包含 的最小闭集, so and
不是连通集 ==> 不是连通集
[connected-componet] 连通分支分解 := 极限点集的分解的极限 , 使得每个极限点集 不可再分解 i.e. 连通
确实是 网 意义上的唯一极限. 网来自 的两个闭集分解可以取共同加细分解 + 闭集对有限交集封闭
is 连通 or 不可 闭集分解 and 有闭集分解 ==>
Proof 的闭集分解 导致其中一个集合是空集
是极限连通集 ==> 在 的唯一一个极限连通分支里
Proof 的点必定在 从而在某个连通分支里
==> 即使 仅仅只是分解为连通集合, 也已经是连通分支分解
有共同点 的连通集 的并集 连通
recall 子拓扑的继承性. 所以连通也继承
所以只需要处理 的情况
Proof 包含 的连通集都在同一个连通分支里面. 说明 只有一个连通分支, 从而连通
连通分支是连通集族的 极大线序 的极大元
连续函数的 image 传递连通
连续函数 inverse-image 传递非连通 as 逆否命题
Proof 闭集分解 ==> 闭集分解
==> [mean-value-theorem-continuous] 连续函数介值. 连续函数 的像 连通 从而 是区间
如果 任何两点都在某个连通子集 中, 则 连通. Proof let with closed, 证明 . 或者 and 有共同点 的连通集 的并集是连通的
==> let 连通. 如果 任何两点都在某个连续函数连通像 中, 则 连通
==> 道路连通
[product-topology-preserve-connected] 积拓扑 保持连通
Proof
使用共同点方法 + 每个 连通 ==> 所有 “十字形” 子集是连通的
再次使用共同点方法, 十字形子集的并集 组成了连通子集
and connected-imply-closure-connected ==> 连通
Proof of
只需要证明 点网系统的每个集相交于某个十字形
的点网系统的集合是
它相交于十字形
let 连通分支分解
的所有连通分支是
Proof 使用 dependent-distributive and 连通的 product 连通, 所以 连通, 从而已经不能再分解
定义 (how?) 的拓扑或极限点之后 (should be something compact open topology? 参考 解析空间的 net 的定义)
[homotopy] 同伦 or 极限点同伦 := 是极限连通的
Example 同伦到
[homotopy-class] := 的连通分支
由于复合保持连续, 复合导出 上的运算. 证明是否良定义. 有时可逆, 使得是群运算