时空动量的自旋表示

Prop 一般地, for , 在换坐标的意义下不等价: 不存在 ,

Proof

特征值换坐标不变

一般地, 有不同的特征值

Example

Prop 等价, 等价

use

其复共轭 [conjugate_representation]

以上只对起作用

二重张量, 其中一个进行复共轭

can be decompose to

[Hermitian_tensor]

[anti_Hermitian_tensor]

对另一个方向的共轭修改同理

[Hermitian_tensor_induced_linear_map] 在的导出作用 :=

[matrix_description_of_Hermitian_tensor]

使用 tensor base

对应到矩阵表示

或者写为 Dirac 记号

无复共轭的版本

notation-overload: 矩阵表示的空间也记为

Hermitian 矩阵

anti-Hermitian 矩阵

对于 , 由于 , anti-Hermitian 的维数高于 Hermitian

[Hermitian_tensor_induced_linear_map_matrix] 的矩阵表示

保持分解到 Hermitian and anti-Hermitian

对于一般的 , 也有

的 “矩阵” 表示需要另作处理, 复合不能表示为通常的矩阵乘法. 仍然能够让良定义

[spacetime_momentum_spinor_representation]

( 代表 “动量” or “速度” or 切向量)

双射

metric

let and , 作用

由于乘法非交换, 的的一般定义有问题. 但是的定义不需要一般乘法交换性. 此时就定义为 . 这不是好的记号, 因为可能无法推广到

也是的 spinor lift. 同理也是的 spinor lift

Example [Pauli_matrix] alias [sigma_matrix]

for

time-like
light-like
space-like

(推广到时, 对应全部虚数元)

is orthonormal base

Question 这些构造的认知上的动机是什么?

作用在提升到 act on

action, denoted as
action, denoted as

[square_root_of_Lorentz_group]

act on 是的某种 “平方”, i.e. or 表示的 “real part” or “symmetric part”

从而是 act on 的某种 “平方根”

[square_root_of_spacetime_metric_1] (启发自 ref-14, ch.11)

. 注意它不是对交错

metric with 是的某种 “平方”, i.e.

quadratic-form is

cf. Pauli_matrix

计算结果说明对于是对的. 对于 , 使用 sum

orthogonal of sigma matrix 也可以通过计算得到, 从而

从而是 metric 的某种 “平方根”

Question 仍然没有直接给出计算等式的直观吗 …

[spacetime_momentum_aciton_spinor_representation]

let .

其中是 Lorentz_group_spinor_representation

是 spacetime_momentum_spinor_representation

则有同态

Proof 使用 3 rotation, 3 boost 的对应

[spinor_representation_adjoint]

Proof

use 3 boost, 3 rotation

use

Prop 将 spacetime_momentum_spinor_representation 用于 , + 射影给出 projective-lightcone

因此以下等价

act on via
act on via

Proof

with (需要乘法结合律?)

给定

in ,

let

还需要计算

为了得到 , 对比 norm, phase

norm

phase

so let with

一般地 . 比较得到

[parity]

parity 对应到 vs representation, or vs , cf. conjugate_representation

let .

parity 对应到 space inversion

对应到 time inversion

parity 对应到 trace or determinant reversal

[determinant_reversal]

let

determinant reversal with

[trace_reversal] := . or .

==> determinant reversal 相同于 trace reversal

[square_root_of_spacetime_metric_2] metric 的一种 “平方根”

let .

give

也有

for Pauli_matrix

or
, for (因为 parity 是 spatial inversion)

这种 “平方根” 的更好的解释?

没有 parity 时的直接的矩阵乘法将会给出 metric 的平方根, with ,

[square_root_of_Lorentz_Lie_algebra] spacetime Lie-algebra 的 “平方根”

where is Lorentz-Lie-algebra

Proof

is δ rotation in where is any cyclic
where

Question 更好的解释? 表示?

[property_of_parity]

i.e. parity 保持 Hermitian

[parity_Euclidean_invariant] parity 和 spatial action 交换. 在中表现为和交换. let

一般情况下不交换, 例如当然不交换于中的时间改变部分

let

[parity_reverse_boost] parity 对 Lie-algebra 的影响是, 不改变 δ 旋转, 对 δ boost 乘

[Euclidean_spinor]

replace lightcone with just sphere acted by and

replace with , with

use trace-free Hermitian

note-math