Example Euclidean 解析流形, 球面 的多种坐标
- 函数图坐标, 函数方程 and 隐函数定理. e.g. for
- 球极投影
- 极坐标. 从 的三角函数开始, 归纳地构造新的纬度
- 测地线坐标
Example 的参数曲线曲面. 解析函数 , ==> 局部参数是局部解析同胚
[manifold] 很多东西在局部解析同胚下不变, 于是可以定义流形局部解析同胚的一般化 (或者局部微分同胚), 一族同维数坐标卡覆盖 , 用 Euclidean or Minkowski or 二次型解析的转换函数.
[orientable] 可定向 := 在切丛中可以解析地定义 orientation
等价于 的 分解
等价于存在坐标覆盖, 每个 transition function 微分
Example Mobius-strip 不可定向
带边流形如果内部可定向, 则边界也可定向. 直觉上, 边界的局部有相同的内部 + 内部可定向 ==> 边界的局部有相同方向 ==> 边界方向被决定了
[manifold-with-boundary] 带边流形. 坐标可以是 维超平面包围的区域, 转换函数需要能够导出 维子空间里的转换函数
[metric-manifold] 流形上的 metric 是在每个切空间定义 metric, 等价于在流形切丛上选择 orthonormal frame bundle. 对 oritentable, 可以选择 可定向的标架丛
[submanifold] 恒等嵌入 是流形同态. 等价地, 的局部微分同胚局部地抻直子流形
[quotient-manifold] …
metric 可以继承自 submanifold 或 quotient manifold of
Example …
即使用二次型拓扑和微分定义了流形, 也仍然有很多不同的 metric. 一种性质良好的 metric 是 Einstein-metric.typ
[isometry] := diffeomorphism 保持 metric . 通常也假设保持可定向流形的方向
微分同胚作用于 metric space, isometry 是这个群作用的 isotropy
不同曲率的 metric 不能在相同的 orbit. 特别地, 零曲率和非零曲率的 metric 不能在相同的 oribt
[δ-isometry] alias [Killing-field]
将会用于流形上的作用量守恒流
Question δ-isometry 和 isometry 群的维数
Example 一些具体的流形
二次型流形
(cf. ref-10 ref-11). group . exp coordinate
[Grassmannian-manifold] act on subspace (orientable)
[Stiefel-manifold] tautological frame bundle
tautological bundle
推广到 二次型的情况
lens space
连续同胚但不微分同胚. Example 四元数 版本的 Hopf-bundle 的多种修改给出了例子之 called exotic 7-shpere