[sectional_curvature]
curvature 可以恢复自 sectional-curvature. Proof 不需要非退化, 对称双线性可以恢复自二次型 quadratic-form
Prop
[constant_sectional_curvature] <==>
i.e. 曲率只有纯量部分且纯量曲率是常值
Proof
constant-sectional-curvature <==>
<==> 是零二次型
<==>
正交分解给出 with
[constant_sectional_curvature_imply_Einstein_metric]
Proof trace-free Ricci-curvature = 0
[constant_sectional_curvature_low_dimension]
-
==> constant-sectional-curvature = Einstein-metric = constant-scalar-curvature
-
==> constant-sectional-curvature = Einstein-metric Proof 三维 + (Einstein <==> )
[quadratic_manifold] :=
where
[quadratic_manifold_is_constant_sectional_curvature] 二次型流形 有 constant-sectional-curvature
Proof
使用子流形技术. 子流形 上的点 在 有切空间与法空间
点的子流形测地线坐标 + 法空间作为流形 坐标
在此坐标在 点的 coordinate-frame orthonormal
拆开 tangent, normal,
曲率的 metric-dual
==>
的曲率是零
==>
二次型流形 co-dimension 1, 法空间 dimension 1, 法向场 with 单位法向场
所以
在 普通坐标在 点 且
==>
==>
宇宙常数
二次型流形中的 Lorentz 流形 有 “静态坐标”, i.e. 在静态坐标中 metric 将是静态形式
- 静态坐标 :=
分解到半径 + 双曲线 + 球面
坐标 with
metric 将是
- 静态坐标 :=
分解到半径 + 球面 + 球面
坐标 with
metric 将是
的时间轴的行为存在 like. 而且存在 closed time-like geodesicm, 从而不 causal
“单叶双曲面” 的时间轴的行为是 like, 空间存在 like. 存在 closed space-like geodesic
可以 “时间切片” 化为 . 是 的微分同胚
metric
“可视化” 的例子: 中的 or , 单叶双曲面
虽然 类时测地线总是闭合的, 表现为椭圆, 但类时非测地线可以无限长度, 例如可以不断逼近类光测地线
类光测地线表现为 “抛物线” …