Euclidean 空间 - note-math

使用 tensor-induced-quadratic-form 的交错化

遍历所有 , 正交基 with , 得到 signature

let . Prop span <==>

Abbreviation

[quadratic-form-inequality-Euclidean] 内积不等式 (Euclidean). . i.e. or

[triangle-inequality-Euclidean] 三角不等式 (Euclidean)

Proof
Proof
时更一般的不等式应该是 . 为简便起见, 暂时不使用这种更一般的假设

对于 norm

的的下确界, 或者

对的上确界, 是

Proof

先计算出的一个上界, 然后证明它是确界

用微分技术证明对有 . 使用转为单变量后证明

计算的最大值. 由于齐次性, 伸缩不影响结果. 假设 . 用微分方法计算的最大值 .

对每个的 norm 分量, let . use

这些 norm 分量相加

let . use

再用嵌入的说明不等式可以取到等号 , 于是是上确界.

当时, , 这使得正常的三角不等式不成立.

[Euclidean-space-topology] Euclidean 拓扑. 在连续 :=

let

[closure] 闭包 :=

[closed-set] 闭集 :=

(open) ball

[open-set] 开集 :=

open <==> closed

[interval] 区间指的子集 with property 序不中断

[best-interval-decomposition] 的最优区间分解

Def as 所有区间的集合, 包括 open, closed, half open half closed, single point

不需要限制为只有开区间, 因为这里不是定义拓扑, 也不需要推广到高维

Def , 即的子集中的所有区间组成的集合

由单点区间的存在, and

有线序链. 对每个极大线序链取都会继续得到区间. 这些区间的集合记为

and

的区间都是不相交的, 分解方式是唯一的, 于是这些区间组成的最优区间分解

当时, 是区间, 连通
当时, 不连通. Example

如果是闭集, 则的区间都是闭区间

[bounded-closed-interval-is-compact] 有界闭区间 ==> compact

Proof

假设是有界闭区间, 是的网

由于是闭集, 故的定义对的拓扑都相同

由于有界, 可以定义非空下确界集和上确界集

根据网的性质 (或者使用相应的区间网 ), 可以证明的数都的数

有上界, 有下界, 于是可以取确界, 且满足

Prop

取 , 证明

Proof

定义

因为

是闭集, 所以

所以

即

再证明

对每个 , 由于是网, 所以存在使得

从而 , 所以且

并且 , 所以

由选取的任意性, 是的上界, 于是 , 也即

从而

由于 , 所以

由选取的任意性, 有

于是

由选取的任意性, compact

[compact-imply-subsequence-converge] compact ==> 序列存在子序列收敛. 对 net 同理

Proof

组成网

compact ==>

let

let and

use 闭包的定义

可以归纳地取 , 使得是子序列. Proof . 取使得 and

==>

单位闭球
单位球面

[circle-is-compact] compact

Proof 连续

连续同构于 (quotient-topology) 连续同构于 i.e. 塌缩端点 (quotient-topology)

有界闭区间 compact ==> quotient compact. by quotient 保持 compact

[closed-ball-sphere-is-compact]

Proof

compact. 归纳假设 compact

compact

(画图) 连续. quotient 原点后得到连续同构

compact. by product-topology-preserve-compact

compact

compact

用极坐标从构造 , 经过 quotient, 得到 compact

另一种方法边界塌缩到一点得到 compact

Proof

. 球面对应到球面 , 再对应半径

球极投影

复合后的映射加上映射到 , 得到的映射仍然连续, quotient 后是双射,

射影空间 (Euclidean) compact. Proof

同理 (and ) compact

[Euclidean-set-distance]

[bounded] 有界 :=
[unbounded] 无界 :=

is invariant

无穷远是平移不变的

by 球极投影

in Euclidean topology of

有界 <==> 远离 <==>
无界 <==>

[Euclidean-space-compact-iff-bounded-closed] compact <==> 有界闭集

Proof

有界闭集对应到的闭集且不包括

compact + closed-set-in-compact-space-is-compact ==> is compact in

topology 限制回到 subspace topology

得到 compact

闭集

let

组成的网. 注意可能

compact ==>

==>

i.e. closed

有界

开球远离 . 开球族覆盖 . 取有限覆盖, 有限并保持远离 , 从而也远离 , 即有界

[nested-closed-set-theorem] 的有界闭集套的交集非空. 其交集也是闭集, 可以理解为线序链闭集套的最小元

[closed-net-theorem] 的有界闭集网的交集非空 Proof

将闭集对应到闭集, compact, 所以闭集套 or 闭集网交集非空. 交集小于任意一个有界闭集, 从而也远离 , 从而交集在中

let be net of

[limit-distance-vanish-net] :=

网的尾部有界

序列可以组成网

[Cauchy-completeness-Euclidean]

in , limit-distance-vanish 网收敛于一点

有界闭集 = compact ==> let

limit-distance-vanish ==>

有些无穷维线性空间 e.g. Lebesgue-integrable , 有界闭集不能得到 compact, 但是仍然满足 limit-distance-vanish 网收敛到一点, 因为的完备性

根据归纳, 有限求和 is 结合且交换. 但是这不保证对无限求和成立 i.e.

let

收敛到
重排

则可能不收敛或者收敛到其它值

compare

收敛 (not ==>) 绝对收敛

let 是序列

收敛 ==>

Proof

==> 由三角不等式
==> 不收敛

任何序列可以定义使得

重排不改变序列尾部行为

Prop 如果 , 重排不变

Proof

==>

==> (by )

==>

def

[series-rearrangement-absolutely-convergence-real] Prop 绝对收敛 ==> 收敛且重排不变

Proof and use 收敛序列的四则运算

and ==> 且重排不变

Question norm 的情况 reduce to ?

调和级数 vs 说明, 会更接近一般收敛

最后的可能性

[series-rearrangement-real]

let and

Prop

收敛到
不收敛到

Example

Proof

收敛到

. 意义: 是使得正求和大于的最小自然数

. 意义: 是使得负求和小于的最小自然数

依此类推, 穷尽所有

将重排为

根据的定义

依此类推

==>

收敛到

在的处理中

将改为

不收敛到

将改为

对同理

Prop 重排不变的级数也是绝对收敛级数

Prop 收敛 ==>

[series-rearrangement-absolutely-convergence]

let 是序列

==> 收敛且重排不变

Proof

收敛. by 用三角不等式和 Cauchy 序列收敛
重排不变

现在考虑非绝对收敛的情况

def

由三角不等式 or 的 -norm, -norm, -norm 等价

是线性子空间

let . 的分量绝对收敛

考虑的分量

[series-rearrangement]

let

and ==> 在分量收敛到 , 重排不变
. 在分量重排不稳定

相同收敛模式的序列的正线性组合 with 保持它们的收敛模式