note-math

梯度和散度互为 adjoint

or

推广到一般张量. 例如, 假设 “协变微分” 给第一个位置增加 , i.e.

则 adjoint 是

let

adjoint :=

Laplacian 的 Lagrangian 是哪个? 可以随意加上 action 质量项

• . eq or
• . eq or
• . eq or

特殊情况

adjoint

在坐标中

adjoint

是构造 mix 对称性的基本构件

用代数技术, 定义 (ref-24, p.34–35)

用

定义

在坐标中

and

“product rule”

然后定义 adjoint . 也有

“product rule” (Question)

但是 , 因为 的对称性

所以 是外微分

在坐标中

也有 adjoint

的 Laplaician 的 Lagrangian?

• . eq
• . eq
• . eq

Lagrangian 的变量可能应该用 代替

Lagrangian 的微分可能应该用 代替

对于纯量场作为零阶张量场, 认为 and . 此时

在坐标中

• gradient

• divergence

• Laplacian

在测地线坐标的原点,

• gradient where 是 二次型的第 个

• divergence

• harmonician

在 flat metric 坐标也是如此