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  90. 73. 拓扑
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  93. 76. 拓扑 struct 的操作
  94. 77. 指数函数
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  99. 80. 度规
  100. 81. 度规的联络
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  102. 83. 度规的曲率
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  119. 98. Lorentz 群
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  121. 100. 旋量场的守恒流
  122. 101. 电磁场
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  124. 103. Einstein 度规
  125. 104. 相互作用
  126. 105. 谐振子量子化
  127. 106. 旋量场杂项
  128. 107. 参考

note-math

cf. metric.typ

[geodesic]

测地线作为可能的 “最小长度路径”. 作用量

ODE 初值 . 测地线的定义不依赖于坐标选取

是 metric-volume-form 限制在 1 dimension path. 是 induced quadratic-form

Lagrange 方程是

对于路径的单位长度参数, , 方程变成

product-rule 展开 , where . 移项并使用 , 方程变成

或者写为

其中 是 [metric-connection] alias [Levi-Civita-connection] alias [Christoffel-symbols]

metric-connection 不是 tensor. metric-connection 的变换方式 [connection-transformations]

by 的定义中的 metric 的变换方式

[geodesic-exponential] …

[geodesic-coordinate]

测地线 or with 给出坐标

它是局部微分同胚 by at , by

  • ODE 的解解析地依赖于初值

在测地线坐标, 测地线方程是 . Proof 测地线是

在 点测地线坐标, 点联络是零,

Proof

ODE

初值 and

将 ODE 的解 代入 ODE 得到

从而在 点对所有方向 , ==> at

[Taylor-expansion-of-metric-in-geodesic-coordinate]

在测地线坐标, metric 的 Taylor 展开

  • 零阶项是标准 metric

  • 一阶项是零 i.e. 一阶微分是零

结合两者,

Proof

在 点测地线坐标

  • 0th. 对测地线坐标, 在 点 , 将测地线坐标里的原点的正交规范基 复制地映射到 点切空间 coordinate-frame

  • 1st.

[differenial-of-metric-vs-connection] Prop Proof 直接把 的 定义 代入式子

然后用 得到 点

在坐标中

也可以写为

对于逆矩阵, 有类似的

[differenial-of-metric-inverse-vs-connection] Prop

Proof 使用 以及

在坐标中

也可以写为