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  128. 107. 参考

note-math

非相对论时空

[action-point-particle-non-relativity] 路径 的作用量

let 是时变向量场 or 时变 δ diffeomorphism, 或者 是非相对论时空 的特殊类型的向量场

let 在边界是零 — 固定路径的终点

let 作用量的微分是零

where

use product rule

and 在边界是零, 使得

所以作用量的微分是

对所有 δ diffeomorphism 成立, 从而给出 Lagrange-equation (alias Euler–Lagrange-equation), 对于非相对论点粒子, [Newton-equation]

作用量的动量部分 没有用 的 volume-form, 而是用 的二次型 和时间 的 volume-form

Lagrangian 可以写为函数 (切丛上的函数)

一般点粒子作用量的 Lagrange-equation

对一般的 , 重复上述过程. 作用量

作用量的微分

use

在边界是零 + 对所有 δ diffeomorphism , 积分是零 ==> [point-particle-Lagrange-equation]

Euclidean 型 metric-manifold

推广到 Euclidean 型 metric-manifold

需要 metric-connection

尽管没有使用 metric volume form, 由于作用量的动能部分的形式, 仍然联系到 metric 测地线

对称与守恒量 (Noether theorem)

处理非相对论时空 的对称性 alias Galileo 群, 生成自 的平移, 旋转, 非相对论 boost

let 是作用量方程的解

注意, 对 的沿对称的变分可能会使得它不再是方程的解, i.e. 对称的 δ diffeomorphism 可能不在边界是零 i.e. 会改变路径端点, 所以相关的对作用量的微分 at 解 , 可能不是零

  • 时间平移

在非相对论, 保持时间 的测度和方向的映射是时间平移

δ 积分区域的变分 [calculation-1-action-point-particle-non-relativity]

第一个等式可以来自微积分基本定理 + 复合函数微分

一般地, 改变区域 通过 通过 δ diffeomorphism 给出

另一边, use 变量替换公式

将其应用到

然后使用微分积分的交换

复合函数微分

是作用量对 (改变端点的) δ differentiation 在解 处的变分 [calculation--action-point-particle-non-relativity]

recall calculation-1-action-point-particle-non-relativity

use , 将上一项与下一项合并

得到

量

称为作用量 的能量, 是沿时间 不变的, forall , i.e. 守恒. 对所有 成立也蕴含

对于 能量是 [energy-point-particle-non-relativity]

Homogeneity of Time ==> Conservation of Energy

  • 空间平移

作用量的动能部分

尽管空间平移 δ diffeomorphism 不在边界是零或者会改变路径端点, 时间端点没有变, 且空间平移不改变动能. with ,

所以类似 能量的情况, with δ diffeomorphism

[momentum-point-particle-non-relativity] 作用量 的动量

沿时间 不变, forall , i.e. 守恒

更一般地, let 作用量 with 使得这个方向的端点不影响作用量, 则动量

守恒

Homogeneity of Space ==> Translation Invariance of ==> Conservation of Total Linear Momentum

Lagrangian

forall (by ) 所以动量

守恒

  • 空间的旋转

选择一个原点. Lagrangian

表示为绕轴 的旋转, cross product 是 δ 旋转

绕轴旋转 ==>

in , with , and magnitude

长度对方向不变

类似动量的情况, Lagrangian 对旋转 invariant, δ diffeomorphism (tangent vector field) 是 , 因此

[rotation-momentum-point-particle-non-relativity] 旋转动量 rotation-momentum alias 角动量 angular-momentum

是沿时间 不变的, forall

量

也是称为旋转动量

更一般地 with 使得 Lagrangian 对绕 旋转 invariant, 则绕 旋转动量是

Isotropy of Space ==> Rotational Invariance of ==> Conservation of Total Angular Momentum

= 平行体有向体积 span by in Euclidean

旋转动量 是对时间的常值, 所以 是常值 2d 平面. 由于 , , 在常值二维平面

对于点粒子系统的 Lagrangian

总旋转动量

是沿时间 不变的

  • 非相对论 boost

非相对论 boost

作用量 的守恒量是

forall

  • 作用量 拥有非相对论时空 的所有 δ 对称的守恒量, 10 dimensional

  • 作用量 有守恒的能量

  • 作用量 有守恒的能量, 动量

  • 作用量 有守恒的能量, 旋转动量

  • 作用量 有守恒的能量, 动量, 旋转动量, 7 dimension

非相对论 potential

  • 刚体

由 (or ) 参数化, 所以可以认为是 Euclidean 型流形 上的非相对论粒子. 但 metric 的使用 or 动能的使用不是 的 Killing-form, 因为 of , 因为对于不是均匀质量分布的球的物体, 在不同方向的旋转有不同的惯性. 转动惯量 moment of inertia i.e. metric 可能需要额外计算

也可以将转动惯量作为 Killing-form 下的对称算子, 特征基成是惯量主轴, 特征值是惯量矩