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  127. 106. 旋量场杂项
  128. 107. 参考

note-math

[sequence-real] 实数列 := . 通常记为 . 根据情况, 设置从 开始或从 开始

[limit-sequence-real] 数列 极限

极限的运算

[rational-dense-in-real] 在 的稠密性.

Proof

等价于

精确到最多差一点之下, 有

so

==>

==>

  • or

Proof and

==>

[geometric-series] 几何级数 .

Proof ,

[geometric-series-test] 几何级数收敛判别. let .

Proof

[exponential-vs-power] 指数增长快于幂.

Proof define

use 几何级数收敛判别

[exponential-root-of-power-function]

Proof

==>

Proof

时 by

时用 和

[factorial-vs-exponential-1] 阶乘增长快于指数.

Proof define . use 几何级数收敛判别

对应 自双射数量, 对应 自映射数量. 等类似

[iterated-power-vs-factorial]

Proof define . use 几何级数收敛判别

增长速度比较, 实数版本

  • 幂 vs 指数:

  • 指数 vs 阶乘 with

  • 阶乘 vs 叠幂

[mean-inequality] 均值不等式 alias [AM-GM-inequality]

取得 <==>

无量纲

Proof

<==>

<==>

用微分方法计算最值. 考虑证明

由于问题是齐次的, 只需要考虑 的情况下, 证明

设

如果某个 则 . 所以只需考虑

和 的交集的边界就是某个 , 此时也是 . 只需考虑无边界内部微分零处的点

用 Lagrangian 乘数法. 让 的微分在曲面 的切空间上是零, 等价于梯度 和 共向

一阶微分

共向 蕴含

根据 得到 , 得到 . 此时 .

的二阶微分

判断二次型 的正定性

乘法因子可以提取出来

都是 的 阶项多项式, 且一阶微分零使得 所以对于判断正定性来说只需考虑 , 二次型

所以 处一阶微分零 and 二阶微分 (半) 正定, 函数在附近不会变小, 所以那里是局部最小值, 且是

[best-multiplication-decomposition] 最优乘法分解

forall 固定

question: which 使得 取最大?

对每个 , 根据均值不等式, 应该用加法等分 取得 最大

等分次数 取什么时, 有最大值?

单调递增

Proof

函数

  • 在 时递增

  • 在 时递减

所以 在 附近取最大

Proof of 单调性质

Example . 所以 时, 递减, 等分是最佳

i.e.

[natural-constant] 自然常数

尽管两个极限的形式看起来如此不同

Proof

二项式展开

固定 时, 有

对每个

also

by

所以

收敛. ==> 在尾部 几何级数控制

[factorial-function-1]

阶乘函数 的无限乘积定义. 不是用减法方向而是用加法方向

==>

with

有时用等价的 会更方便

为了证明收敛, 一种方法是用 将无限乘积转为无限加法. 用技巧

用 Taylor 展开

  • 用阶乘函数的性质可以证明 cf. Euler-reflection-formula. 这里只证明收敛

    收敛, for and for

    称为 Riemann Zeta 函数

  • 是 Euler gamma 常数 [Euler-constant]

as 加法渐进. as 乘法渐进

Proof

let

可以用 和 收敛

也可以用积分估计

有界

单调减

[Euler-reflection-formula] Euler 反射公式 or

绝对收敛 := 收敛, 等价地 收敛, 由于 , , 等价地 收敛.

绝对收敛蕴含 收敛

所以 收敛

用

的零点是 . 的零点是 , 对应到 的零点

(渐进地) 被 控制. 有限求积在展开乘法后是一个多项式 . 在 用 控制, 给出 compact 一致收敛, 可以证明序列 的 阶导数收敛到 的 阶导数, 从而可以证明序列 的幂函数 的系数 收敛到 的幂函数 的系数

  • 用 Cauchy 积分公式

  • 或者纯实数的情况下证明 被控制, 然后

  • 复分析中的无穷乘积理论

  • 或者, 从 使用 Fourier 变换积分 (ref-25, vol.2)

    for

    let

    级数被控制收敛. 积分, 交换积分和级数

, 展开为幂级数, 的系数是

对比 在 的 Taylor 展开的 的系数

特别地

从而

并且得到 [Wallis-formula]

[factorial-function-2]

根据 Euler 的洞察, 阶乘函数的积分定义是, 对 然后对 (且可能对其它 normed-division-algebra)

两种 的定义是等价的, 但这不是显然的. 从 到 的延拓不是唯一的, 因为可以加上在 上取值 的解析函数来保持对 的延拓, 例如加上函数

(ref-25, vol.2, sect.Euler-integral) 函数序列 在 上单调递增收敛且一致收敛到 . 交换级数和积分

变量替换 可以得到另一种积分表示

[Gaussian-integral] 变量替换 or 则

我们已经用 Euler 反射公式得到 . 也可以用极坐标方法

[iterated-power-vs-factorial-2]

阶乘与叠幂的增长速度比较

so , so

Proof of

def

def

[sequence-multiplication-mean-limit] 乘法平均不改变极限

Proof

[sequence-addition-mean-limit] 加法平均

[harmonic-series-diverge] 调和级数发散

Proof 发散 by 它不是 limit-distance-vanish. e.g.

[iterated-power-vs-factorial-3] [Stirling-approximation]

使用技巧

Taylor 展开 从而

我们知道 . 于是

(ref-26) 最后一项是绝对收敛的

所以 可以拆解为收敛到常数的项

加上项

所以 or

or

我们还需要计算剩下的常数

(ref-27) 变量替换

于是

函数 在 分别在 时单调收敛到 , 因为:

交换级数和积分, 并使用

所以

所以

的出现的讨论, 也见 why-pi-in-Gaussian-integral