纯量场的作用量
动能部分
or
其中 by metric 对偶
质量部分
[Klein--Gordon-Lagrangian]
or
let δ diffeomorphism , let 作用量的微分是零
product rule
在坐标中
δ diffeomorphism of field , 在边界是零 (边界 of i.e. 无穷远) 使得
作用量的微分
for all , 从而给出 Lagrange-equation, 此处称为 [Klein--Gordon-equation]
let
-
massless
-
massive
-
mass term =>
作用量使用了二次型 和 metric volume form
in ,
对一般 scalar field action
重复上述步骤
在坐标中
product rule
在坐标中
散度量 + Stokes 定理 + 边界零 + forall , 收集 , 项得到 Lagrange-equation
注意 值场不兼容于 gauge
平面波
- 周期
- 波长
- 4-波数
-
波速
- 无质量 ==> 波速 = 光速
- 有质量 ==> 波速 < 光速. 且波速不是 invariant
Question [motivation-of-plane-wave-solution]
平面波的动机? 启发自常系数线性 ODE 的解的 的出现, 特别是谐振子 eq , 类似 谐振子 的一阶化 , 对 KG 方程
三角情况
where , 代表二次型反演, 并且以内积作用在
从而
或者写为复指数的形式
双曲情况类似
[linear-superposition-of-KG-eq]
平面波线性叠加也满足 scalar field eq
在双曲面 上积分叠加
metric & volume form 来自 的限制
在 的情况可以在三维类空双叶双曲面的一叶 上进行, 因为另一叶可以通过收集系数 得到等价于单叶
. 对于 平面波大概需要考虑所有单位虚数元, 从而需要对 积分?
对 值场, , 并写为
给 加上平方可积条件 ( 上的积分), 且为了让 的一些导数也平方可积 (Sobolev) e.g. , 通常会给 再加上一些 “多项式乘法” 平方可积条件 e.g.
在简单的 “投影到 坐标” 上 (不是 invariant 的), 用记号
with
并不能简单地 “投影” 到 , 本来就不是双射
[unitary-representation-KG-field]
对于 叠加自由场, 有 内积, 且 invariant. 保持二次型蕴含保持内积
平移 使得
旋转 是 的 isometry, 不改变积分
这被称为 Poincare 群 的 unitary representation, spin 0 part,
[try-to-define-plane-wave-in-metric-manifold]
的 化在流形上可以被推广吗? 注意这是无坐标的写法. 如果用坐标, 不是常系数 PDE. 无论是否常系数, 都可以尝试 exp 化
可以在对称空间 上被推广吗?
(δ) isometry 保持 叠加吗?
为构造粒子型波包, 先寻找静态解, 然后 boost
时空, 值纯量场 with potential or 给出了可能的多粒子波包模型? (Soliton type)
Question 无穷的困难
自由场 不可积, 所以不能代入到 Lagrangian 然后积分
一种可能不算那么令人满意的做法是, 只考虑差值的可积. 考虑 周围的 with 可积, 且作用量在 的微分是零
另一种方法, 先在有限区域积分, 然后取极限到无限区域