1. notice
  3. English
  5. logic-topic
  6. 1. logic
  7. 2. basic
  8. 3. map
  9. 4. order
  10. 5. combinatorics
  12. calculus
  13. 6. real-numbers
  14. 7. limit-sequence
  15. 8. division-algebra
  16. 9. Euclidean-space
  17. 10. Minkowski-space
  18. 11. polynomial
  19. 12. analytic-Euclidean
  20. 13. analytic-struct-operation
  21. 14. ordinary-differential-equation
  22. 15. volume
  23. 16. integral
  24. 17. divergence
  25. 18. limit-net
  26. 19. topology
  27. 20. compact
  28. 21. connected
  29. 22. topology-struct-operation
  30. 23. exponential
  31. 24. angle
  33. geometry
  34. 25. manifold
  35. 26. metric
  36. 27. metric-connection
  37. 28. geodesic-derivative
  38. 29. curvature-of-metric
  39. 30. Einstein-metric
  40. 31. constant-sectional-curvature
  41. 32. simple-symmetric-space
  42. 33. principal-bundle
  43. 34. group
  44. 35. stereographic-projection
  45. 36. Hopf-bundle
  47. field-theory
  48. 37. point-particle-non-relativity
  49. 38. point-particle-relativity
  50. 39. scalar-field
  51. 40. scalar-field-current
  52. 41. scalar-field-non-relativity
  53. 42. projective-lightcone
  54. 43. spacetime-momentum-spinor-representation
  55. 44. Lorentz-group
  56. 45. spinor-field
  57. 46. spinor-field-current
  58. 47. electromagnetic-field
  59. 48. Laplacian-of-tensor-field
  60. 49. Einstein-metric
  61. 50. interaction
  62. 51. harmonic-oscillator-quantization
  63. 52. spinor-field-misc
  64. 53. reference
  66. 中文
  67. 54. notice
  69. 逻辑
  70. 55. 逻辑
  71. 56. 基础
  72. 57. 映射
  73. 58. 序
  74. 59. 组合
  76. 微积分
  77. 60. 实数
  78. 61. 数列极限
  79. 62. 可除代数
  80. 63. Euclidean 空间
  81. 64. Minkowski 空间
  82. 65. 多项式
  83. 66. 解析 (Euclidean)
  84. 67. 解析 struct 的操作
  85. 68. 常微分方程
  86. 69. 体积
  87. 70. 积分
  88. 71. 散度
  89. 72. 网极限
  90. 73. 拓扑
  91. 74. 紧致
  92. 75. 连通
  93. 76. 拓扑 struct 的操作
  94. 77. 指数函数
  95. 78. 角度
  97. 几何
  98. 79. 流形
  99. 80. 度规
  100. 81. 度规的联络
  101. 82. Levi-Civita 导数
  102. 83. 度规的曲率
  103. 84. Einstein 度规
  104. 85. 常截面曲率
  105. 86. simple-symmetric-space
  106. 87. 主丛
  107. 88. 群
  108. 89. 球极投影
  109. 90. Hopf 丛
  111. 场论
  112. 91. 非相对论点粒子
  113. 92. 相对论点粒子
  114. 93. 纯量场
  115. 94. 纯量场的守恒流
  116. 95. 非相对论纯量场
  117. 96. 光锥射影
  118. 97. 时空动量的自旋表示
  119. 98. Lorentz 群
  120. 99. 旋量场
  121. 100. 旋量场的守恒流
  122. 101. 电磁场
  123. 102. 张量场的 Laplacian
  124. 103. Einstein 度规
  125. 104. 相互作用
  126. 105. 谐振子量子化
  127. 106. 旋量场杂项
  128. 107. 参考

note-math

[sectional-curvature]

根据 symmetry-of-curvature,

截面曲率是二次型 (可能退化) 限制在 方向空间 i.e. 限制在单位长度

curvature 可以恢复自 sectional-curvature. Proof 不需要非退化, 对称双线性可以恢复自二次型 quadratic-form

Prop

[constant-sectional-curvature] <==>

i.e. 曲率只有纯量部分且纯量曲率是常值

Proof

constant-sectional-curvature <==>

<==> 是零二次型

<==>

正交分解给出 with

[constant-sectional-curvature-imply-Einstein-metric]

Proof trace-free Ricci-curvature = 0

[constant-sectional-curvature-low-dimension]

  • ==> constant-sectional-curvature = Einstein-metric = constant-scalar-curvature

  • ==> constant-sectional-curvature = Einstein-metric Proof 三维 + (Einstein <==> )

[quadratic-manifold] :=

where

[quadratic-manifold-is-constant-sectional-curvature] 二次型流形 有 constant-sectional-curvature

Proof

使用子流形技术. 子流形 上的点 在 有切空间与法空间

点的子流形测地线坐标 + 法空间作为流形 坐标

在此坐标在 点的 coordinate-frame orthonormal

拆开 tangent, normal,

曲率的 metric-dual

==>

的曲率是零

==>

二次型流形 co-dimension 1, 法空间 dimension 1, 法向场 with 单位法向场

所以

在 普通坐标在 点 且

==>

==>

宇宙常数

二次型流形中的 Lorentz 流形 有 “静态坐标”, i.e. 在静态坐标中 metric 将是静态形式

  • 静态坐标 :=

分解到半径 + 双曲线 + 球面

坐标 with

metric 将是

  • 静态坐标 :=

分解到半径 + 球面 + 球面

坐标 with

metric 将是

的时间轴的行为存在 like. 而且存在 closed time-like geodesicm, 从而不 causal

“单叶双曲面” 的时间轴的行为是 like, 空间存在 like. 存在 closed space-like geodesic

可以 “时间切片” 化为 . 是 的微分同胚

metric

“可视化” 的例子: 中的 or , 单叶双曲面

虽然 类时测地线总是闭合的, 表现为椭圆, 但类时非测地线可以无限长度, 例如可以不断逼近类光测地线

类光测地线表现为 “抛物线” …