向量场 在方向 的导数的定义问题
附近的向量场 , 在 方向, 尝试在坐标里求导数
然而, difference 操作不线性兼容于一般 diffeomorphism 的换坐标
但是在 metric-manifold, 有特殊的坐标 — 测地线坐标. 的不同测地线坐标的变换方式是 , 是线性的
[geodesic-derivative] 测地线导数 alias [Levi-Civita-derivative] Levi-Civita 导数 :=
在 点测地线坐标, 在 点的导数,
也可以对 tensor 场求导数 . 根据张量结构带有的纯量乘法, 计算可以使用 product-rule Example
Prop . Proof 在测地线坐标
Prop or
Prop 协变导数兼容于 metric-dual e.g. since
可能需要其它坐标来计算测地线坐标, 从而也可能需要其它坐标来表示测地线导数
[geodesic-derivative-in-general-coordinate]
用一般坐标 计算出测地线坐标 , 然后在坐标 , 测地线导数是
使用 联络的变换
==>
使用 . 代入 的计算
切空间将 线性转换 到 , 但保持 in coordinate , but keep in coordinate
或者写为, 在一般坐标, 测地线导数
对于 coordinate-frame
有无更直观的解释, 而不是直接使用联络的变换?
如果只看线性兼容, 那么有很多 线性 connection, 重合于 geodesic-derivative 的是 metric-connection
[geodesic-derivative-of-co-vector] Prop 对于 co-vector 场
Proof
Question 类似于 vector 场的情况. 使用变换 和 product-rule
对于 co-vector coordinate-frame
[parallel-transport-metric-connection]
平行运输 as “沿曲线零变化率” or where
是 ODE
根据计算 (?) 可以从平行运输 + 微商恢复协变导数
[orthonormal-frame]
metric-connection 的平行运输保持 metric
可以用来构造规范正交标架
可以证明流形 metric 一一对应的到流形上的 principal-bundle 结构
但是有更具体且可操作的计算结果吗? 关于在测地线坐标用平行运输计算规范正交标架
规范正交标架可能会用于弯曲流形的 spinor 的一些简化计算 e.g. Pauli-matrix