[action-point-particle-relativity] 作用量
结果是测地线
使用时空 的 metric volume form 限制在一维路径, 得到长度 , 使用的是二次型的平方根, 而不是单纯的二次型
对于路径, 在 “时间坐标” , let . 作用量
[equation-point-particle-relativity] let . 类似 非相对论的情况, 作用量的方程
[point-particle-relativity-approximate-to-non-relativity] 相对论作用量 “近似” 到非相对论作用量
然后常值 将会变分到零
这种非相对论近似极限的方式是坐标依赖的. 在弯曲流形上, 由于可能需要多个坐标覆盖整个流形, 非相对论近似极限的的定义问题会更困难
对称与守恒量
时空的对称群是 isometry alias Poincare 群
- 平移
相对论 Lagrangian 在 下 invariant, 但 boost 仍然改变路径的时间和空间的端点 i.e. 改变作用量
- 旋转
类似于非相对论的情况, momentum-point-particle-non-relativity 的相对论版本是 [rotation-momentum-point-particle-relativity]
- boost
boost by 双曲角度
所以 δ boost by 双曲角度, 是
在 的一个坐标中, let 空间向量 , , 对应 δ boost, 定义双曲 cross product
类似于能量的情况, boost 也改变作用量
boost 动量的计算结果中会出现 4-动量从而出现能量
[boost-momentum-point-particle-relativity]
注意 时空 metric 有负定的空间 metric
空间 向量
也是称为 boost 动量
由于使用了 坐标对时间和空间的分离, 尽管旋转动量和 boost 动量是 invariant 的, 但表示方式 和 boost 动量 不是 invariant 的
结合起来, 可以写为角动量
粒子系统
potential
potential
point particle in Lorentz-manifold
Example
相对论点粒子和规范场的耦合. 作用量
- Question
隐藏的 规范对称性
场相互作用中使用的规范变换 会导致联络的变换 . 对于点粒子和电磁场的作用量, 是散度量 , 用边界是零, 得到变分是零
尽管 invariant 的是方程而不是作用量
这不同于例如纯量场的情况是, 作用量也 invariant, 而方程的 invariant 通过协变导数的定义
[current-gauge-particle] 这种隐藏的 规范对称性是否能给出点粒子的守恒 4-电流?
Example
相对论点粒子和规范场的耦合. 作用量
- Question
隐藏的 规范对称性
场相互作用中使用的规范变换 会导致联络的变换 . 对于点粒子和电磁场的作用量, 是散度量 , 用边界是零, 得到变分是零
尽管 invariant 的是方程而不是作用量
这不同于例如纯量场的情况是, 作用量也 invariant, 而方程的 invariant 通过协变导数的定义
[current-gauge-particle] 这种隐藏的 规范对称性是否能给出点粒子的守恒 4-电流?