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  128. 107. 参考

note-math

Prop 一般地, for , 在换坐标的意义下不等价: 不存在 ,

Proof

特征值换坐标不变

一般地, 有不同的特征值

Example

Prop 等价, 等价

use

其复共轭 [conjugate-representation]

以上只对 起作用

二重张量, 其中一个进行复共轭

can be decompose to

[Hermitian-tensor]

[anti-Hermitian-tensor]

对另一个方向的共轭修改 同理

[Hermitian-tensor-induced-linear-map] 在 的导出作用 :=

[matrix-description-of-Hermitian-tensor]

使用 tensor base

对应到矩阵表示

或者写为 Dirac 记号

无复共轭的版本

notation-overload: 矩阵表示的空间也记为

Hermitian 矩阵

anti-Hermitian 矩阵

对于 , 由于 , anti-Hermitian 的维数高于 Hermitian

[Hermitian-tensor-induced-linear-map-matrix] 的矩阵表示

保持分解到 Hermitian and anti-Hermitian

对于一般的 , 也有

的 “矩阵” 表示需要另作处理, 复合不能表示为通常的矩阵乘法. 仍然能够让 良定义

[spacetime-momentum-spinor-representation]

( 代表 “动量” or “速度” or 切向量)

双射

metric

let and , 作用

由于乘法非交换, 的 的一般定义有问题. 但是 的定义不需要一般乘法交换性. 此时 就定义为 . 这不是好的记号, 因为可能无法推广到

也是 的 spinor lift. 同理 也是 的 spinor lift

Example [Pauli-matrix] alias [sigma-matrix]

for

  • time-like
  • light-like
  • space-like

(推广到 时, 对应全部虚数元)

  • is orthonormal base

Question 这些构造的认知上的动机是什么?

  • 作用在 提升到 act on
  • action, denoted as
  • action, denoted as

[square-root-of-Lorentz-group]

act on 是 的某种 “平方”, i.e. or 表示的 “real part” or “symmetric part”

从而 是 act on 的某种 “平方根”

[square-root-of-spacetime-metric-1] (启发自 ref-14, ch.11)

. 注意它不是对 交错

metric with 是 的某种 “平方”, i.e.

quadratic-form is

cf. Pauli-matrix

计算结果说明 对于 是对的. 对于 , 使用 sum

orthogonal of sigma matrix 也可以通过计算得到, 从而

从而 是 metric 的某种 “平方根”

Question 仍然没有直接给出计算等式 的直观吗 …

[spacetime-momentum-aciton-spinor-representation]

let .

其中 是 Lorentz-group-spinor-representation

是 spacetime-momentum-spinor-representation

则有同态

Proof 使用 3 rotation, 3 boost 的 对应

[spinor-representation-adjoint]

Proof

use 3 boost, 3 rotation

use

,

Prop 将 spacetime-momentum-spinor-representation 用于 , + 射影 给出 projective-lightcone

因此以下等价

  • act on via
  • act on via

Proof

with (需要 乘法结合律?)

给定

in ,

let

还需要计算

为了得到 , 对比 norm, phase

norm

phase

so let with

一般地 . 比较 得到

[parity]

parity 对应到 vs representation, or vs , cf. conjugate-representation

let .

parity 对应到 space inversion

对应到 time inversion

parity 对应到 trace or determinant reversal

[determinant-reversal]

let

determinant reversal with

[trace-reversal] := . or .

==> determinant reversal 相同于 trace reversal

[square-root-of-spacetime-metric-2] metric 的一种 “平方根”

let .

give

也有

for Pauli-matrix

  • or

  • , for (因为 parity 是 spatial inversion)

这种 “平方根” 的更好的解释?

没有 parity 时的直接的矩阵乘法将会给出 metric 的平方根, with ,

[square-root-of-Lorentz-Lie-algebra] spacetime Lie-algebra 的 “平方根”

where is Lorentz-Lie-algebra

Proof

  • is δ rotation in where is any cyclic

  • where

Question 更好的解释? 表示?

[property-of-parity]

  • i.e. parity 保持 Hermitian

[parity-Euclidean-invariant] parity 和 spatial action 交换. 在 中表现为 和 交换. let

一般情况下不交换, 例如 当然不交换于 中的时间改变部分

let

or

or

[parity-reverse-boost] parity 对 Lie-algebra 的影响是, 不改变 δ 旋转, 对 δ boost 乘

[Euclidean-spinor]

replace lightcone with just sphere acted by and

replace with , with

use trace-free Hermitian