note-math

考虑子空间

以下等价

• not co-linear

if , 根据 的直观 (画图), 以下类型的基都有可能

• 2 time(-like)
• 2 space
• 1 time, 1 space
• 1 time, 1 light
• 1 space, 1 light
• 2 light

Example

• 2 time(-like)
  

  , where
  
  可以线性生成 , 所以张开
• 2 space
  , where
• 1 time, 1 space
  
• 1 time, 1 light
  
• 1 space, 1 light 同理
• 2 light
  Example . 注意 .
  生成

考虑 中的一般的

[signature-of-2d-subspace-of-spacetime] Prop Minkowski 在 的 的可能 signature 是

我们会在后面证明 signature 不可能

直观上, 两条直线张开的平面 (想象 的情况)

• 和光锥内部外部都相交. 虽然所有基的种类都可能, 但以下种类的所有基都是 signature 的

  • 2 time
  • 1 time, 1 light
  • 2 light

• 只和光锥外部相交

  • 2 space

• 和光锥相切, 不与光锥内部相交, 且与光锥只相交于一条 light-like 直线

  • 1 light, 1 space

Prop 可以存在 signature 子空间. Proof 的

Prop time-like 只正交于 space-like

let time-like. 使用正交分解 , let then ==> space-like

Prop light-like 不正交于

• time-like. 因为 time-like 只正交于 space-like
• 与自身共线 之外的 light-like [metric-cannot-distinguish-colinear-light-like]

Proof

Prop 的二维子空间的 signature 不可能是 or

Proof 用上一个定理

Question 是否有不依赖于时间空间正交分解的证明? 但是注意, 这个命题对一般 不成立. 在 中, 以下正交且不共线

• 1 time, 1 light
• 2 light

进一步的概念是 “全迷向子空间” (Totally Isotropic Subspace)

Prop 时 的子空间 的所有 signature 都有可能

Proof 此时 包含子空间 , 那里容易构造所有可能的 signature 子空间

Prop 的两个不共线 time-like 的展开 的 signature 是

Proof 以其中一个 time-like 为初始的基来生成 正交基, 但 signature 不能是 , 所以只能是

Prop 在 let light-like, time-like or light-like, 不共线. 则

Proof

[simultaneity-relativity] 相对论同时性

取一个 的时间空间正交分解

Prop ==> 内积的时间相乘的符号决定内积的符号

Proof 分类讨论 的情况

• . let . . 对 同理. 于是根据 Euclidean 内积不等式

  于是 , 即, 和 相同正负

• . let . 取 然后用 的结论

in Euclidean, we have

内积不等式 ==> 三角不等式

in signature 二次型, 这一般不成立

前面说过, 二次型在基 下对应矩阵 . 转为标准二次型形式, 对应矩阵变换

[quadratic-form-inequality-Minkowski] 内积不等式

• 
  一正一负, 对应 signature
• 
  同正负, 对应 或 signature
• 
  其它 signature 或 共线

[triangel-inequality-Minkowski] signature 三角不等式

Proof of 2 time-like

Euclidean 空间的极限或连续是直接用开球 (为了简化讨论, 只考虑原点 为中心)

在 Minkowski 空间或者 p,q 二次型空间中, 对 Euclidean 的情况的直接模仿是

• 类时 , 类空 , 或者
• 合并类时类空

但是注意, 此时

1. 所表示的极限含义和 Euclidean 的情况不同. 例如光锥上不同的两点虽然 “隔开” 但是其二次型距离是零. 对于光锥上的点 虽然和 隔开, 却可以通过 变换使得 的坐标任意接近 . 以 为例, 设 . 变换后 , 然后 . 在 作用的轨道下是射线
2. 以 为例, 应该是 的球面 的类似物. 在 的图形直觉上, 上有些点看起来离原点 很远, 但实际上 上任意点的 距离都是一样的, 上任意两点都可以通过 变换相互转换, 这就像 的情况一样. 在 上, 二次型距离 时可以认为是类时测地线距离或者惯性粒子的 proper time. 上的类时点可以 变换到空间坐标是零, 意味着从匀速变换到静止, 此时 proper time = time. 对于 大概也有类似结论

“幸运” 的是, 的 “坐标距离的连续”, 即 product 距离, 蕴含了 的 “二次型距离的连续”, 因为 , 进而也有可微/解析的蕴含

反过来, 在 non Euclidean 的情况下, 二次型距离的连续无法蕴含坐标距离的连续

在处理 Minkowski 空间 的东西时, 很多有用的函数也是 “时空坐标距离的连续或解析”, 即在一个坐标下的 product 距离下的连续或解析

在处理可微/解析时, 由于在定义域或值域光锥方向上会遇到除以 的问题, 大概在那些地方都当作是可微/解析的

但是有可能存在有用的函数, 在二次型距离下连续/解析, 但在时空坐标距离下不连续/不解析

二次型距离合理性的可能线索: 通过 张量 作为线性映射空间, 继承的张量二次型, 再限制在 时, 将会成比例于 的 Killing form 二次型 Killing-form-of-orthogonal-group. signature , 其中 是 boost 的数量, 是 time-like 旋转, 是 space-like 旋转. 在 Killing form 下, boost 是正距离的, time/space 旋转都是负距离的

的类时区域 . 它可以分解为距离空间部分 和方向空间部分

像 极坐标那样, 我们可以用双曲极坐标 , 其中 是二次型距离, 是 的测地线长度, 也称为双曲角度 [hyperbolic-angle] 或者快度 [rapidity]

[polor-coordinate-hyperbolic] 双曲极坐标

[hyperbolic-cosine-formula] 双曲余弦公式

[isom-top-hyperbolic-Euclidean]

在 距离下的极限结构 测地线距离 Euclidean

Proof

推广到 , Euclidean

Proof

二次型流形的测地线可以用纯二次形式技术定义

二次型流形 的 点处的切空间可以定义为正交于径向向量 的 (仿射) 子空间

点出发的测地线的初始方向 在 在 点上的切空间

测地线定义为

type (p. 19 of ref-9)

type

是 Riemann manifold, const negative curvature

是 Lorentz manifold, const positive curvature

alias de Sitter space

球面 的球极投影的基点 (“南北极”) 在 上. 需要两个以上的坐标卡覆盖全部

[stereographic-projective-hyperbolic] time-like 双曲面 考虑球极投影, 两个基点分别在两枝双曲面上, 且投影在光锥方向 (下图的交叉形状) 形成分隔的奇点

在未来基点的投影坐标中, 过去基点的坐标是零, 但未来基点的坐标没有或者坐标是

是特殊的, 因此上图的 future 坐标是不连通的. 但是空间维数 时 future 坐标应该连通

space-like 双曲面, 用 space-like 基点来定义双曲投影, 投影坐标卡是低一维的 Minkowski 空间

对 的情况进行 3d 作图, 画出基点的光锥 (注意是光锥是 “纵向” 的)

即使画图的直观可能难, 解析计算应该是不难的