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  128. 107. 参考

note-math

一维情况开始

几何级数

in ,

[convergence-radius-1d] 收敛半径

(cf. limsup)

==>

[absolute-convergence-analytic-1d]

Prop ==> 绝对收敛

Proof

and

use 几何级数判别 and

Prop ==> 绝对发散

Proof ==> 中无限项

Prop 绝对收敛 ==>

[uniformaly-absolutely-convergence-analytic]

use . use 几何级数控制

in 半径 的闭球 , 一致绝对收敛

多项式函数 是连续函数

收敛半径内, 幂级数定义的函数

,

[analytic-imply-continuous]

==> 连续

Example

  • 的收敛半径是

  • 的收敛半径是

边界上的收敛问题

  • 的收敛半径是 , 在 处是调和级数 , 绝对发散

  • 的收敛半径是 , 在 绝对收敛到

  • 绝对收敛 vs 收敛: 在 收敛, 但不绝对收敛

将多项式的 change-base-point-polynomial 推广到级数

[change-base-point-analytic]

==> 幂级数 切换基点到 之后的幂级数

在 也有非零收敛半径 . 根据三角不等式,

时绝对收敛, , 从而

现在考虑高维的情况. 幂级数

注意 对称性, 例如 的 , 的

将多项式函数 polynomial-function 推广到幂级数

不同于一维, 在高维, 一般没有 . 甚至还没有定义

[linear-map-induced-norm]

let

定义为对所有方向 的一致控制系数. compactness of 将会使得这种定义有意义

so that (for all direction)

and

和 情况比较, 的定义的可计算性低

[convergence-radius] 收敛半径

[absolute-convergence-analytic]

same as

  • ==> 绝对收敛

  • 存在方向 , forall , 绝对发散

Proof (of 发散)

use linear-map-induced-norm , 存在 使

use 定义, 中无限项

use passing to compact and 子序列收敛到

==> 中无限项

==> 中无限项

将 伸缩到

==>

let

==> 中无限项

Prop 绝对收敛 ==>

类似一维, 也有

  • uniformaly-absolutely-convergence-analytic

  • analytic-imply-continuous

  • change-base-point-analytic

for , 阶 差分 给出

替换

幂级数在收敛半径中一致绝对收敛, 从而可以交换极限

可以恢复 阶单项式

[differential]

阶微分

Example

差分和微分的定义可以用于任何函数, 不需要是由幂级数定义的函数

[polynomial-expansion] 多项式展开

alias 幂级数, Taylor 展开, Taylor 级数

[polynomial-approximation] 多项式逼近

alias Taylor 展开, Taylor 逼近, Taylor 多项式 [Taylor-expansion] [Taylor-approximation] [Taylor-polynomial]

[derivative] 微商 alias 导数, 方向导数

接连的差分和微商

逐次差分 不依赖于顺序 + 极限交换 ==> 方向导数交换

[successive-derivative] 逐次微商

==> 幂级数的方向导数表示

逐次微商的概念使用了不同点的切向量的相减, 隐含地用到了 connection 的概念

[partial-derivative] 偏导数

使用坐标. let 是 的基. so 坐标 分量

and so on

let . use successive-derivative, partial-derivative

==> 幂级数的偏导数表示 (also cf. multi-combination)

when domain = ,

define 和对偶基 with

==> 微分的偏导数表示 as 对称张量的 系数–基 展开

when domain =

Example

let

, or

if use range space 坐标 那么一阶微分 表示为 Jacobi 矩阵 [Jacobi-matrix]

[differential-function] 微分函数

将值域 作为 linear space, 使用 power norm, 可以幂级数展开

[successive-differential]

isomorphism

with

same norm

same convergence radius (use )

Proof (draft) 导数的交换性 and . norm estimation

Abbreviation 尽管记号冲突

==> 微分函数的幂级数

[anti-derivative]

  • use

    ==> . 零阶项不确定

  • …

[mean-value-theorem-analytic-1d] 微分中值定理

  • 介值 ver. for 函数

  • compact 一致线性增长控制 ver.

Proof

use reduce to

两者情况

  • 从而 存在最值 且 . 此时

[fundamental-theorem-of-calculus] 微积分基本定理

证明使用的技术: 微分中值定理 compact 一致线性增长控制 ver. + compact 分割一致逼近

[mean-value-theorem-analytic] 高维一般没有介值 ver. 微分中值定理 for . 用嵌入的直线 reduce to 的情况

  • 一阶

by 微积分基本定理 and chain-rule-1d and

remainder estimation, 一致线性控制

  • 高阶

by 分部积分

从 开始相加直到

remainder estimation, 一致 阶幂控制

let 幂级数

[convergence-domain] 在一点的收敛域 :=

计算幂级数的切换基点后的系数使用了求和的交换

for 多项式, 求和有限, 求和顺序交换, 从而切换基点良定义 change-base-point-polynomial

但是, 无限求和的极限, 如果不是绝对收敛, 并不总是兼容于求和顺序改变 series-rearrangement

幂级数切换基点可能导致收敛域改变

Example

with

收敛域是

切换基点导致收敛域改变

  • , ,

    收敛域 , 半径 的开球

  • ,

    收敛域 , 半径 的开球

不断切换基点可以 “改变” 收敛到的值

Example

let with

let 逐次切换基点 , 最后回到

if 每次位移 都在基点 的收敛域

then 最终的幂级数是 , where 是 形成的道路 (逆时针) 绕 的圈数

  • . 绕 转 圈得到

绕 转 圈得到 , by

[analytic-continuation]

  • 良定义的延拓区域: 不受切换基点的影响

  • 极大延拓区域: 无法再良定义地延拓

Example

  • 收敛半径

不能良定义地延拓到 . by 绕 转 圈得到

极大良延拓区域应该是

  • 收敛半径

可以良定义地延拓到 , 重合于用 除法定义的

注意 , or . 说明导数或反导数会影响

  • 和 已经是极大延拓

的极大延拓是

的幂级数系数包含复数, 不同于 只包含实数

[analytic-function] 解析函数 := 定义域每一点 附近, 都可以由 上的幂级数来定义 . 此时

[analytic-isomorphism] 解析同胚 :=

  • 双射
  • 解析函数

这蕴含 , 因为

Example

  • 是解析同胚.

==> , 单调增 ==> 是 解析同胚

, in 有解 ==> ==> 不是 解析同胚

  • with 是 解析同胚
with 是局部解析同胚, 但不是 解析同胚. 非单射:

[power-series-space]

幂级数空间

尝试对幂级数空间定义距离. 期望 在某个半径 内都相近, 换言之, 在半径 内接近

(note: is linear-map-induced-norm

let

注意我们做了半径截断 , 此时在 闭圆盘上, 幂级数绝对一致收敛

闭圆盘是 compact 的, 这带来了很多好的性质. 考虑 , 它在 附近无界. 那么对于 , 无论 多么接近 , 都在 附近仍然无界. 但是如果考虑 原点的半径 的闭圆盘, 在那里 有界

Example 幂级数 自身的截断多项式 (Taylor 多项式) 也逼近 . 因为

另一种可能拓扑等价的表述是使用 . 等价是因为

  • 取 , 则

有一种可能过弱的拓扑. .

设 . 虽然 且 的收敛半径都是 . 在 处的取值是 , 在 处的取值 . 此时 也是

有一种可能过强的拓扑

or 根据已有的 , 应该可以构造满足这种条件 , 至少 的情况是简单的

定义幂级数之间的距离

作为 的一致控制

它不是 norm.

为什么说这种拓扑过强? 考虑 的情况, 考虑 , 此时

是否应该 ?

在这种距离的定义下, 无论 多么接近

这就是说这种拓扑过强的意义, . 原因可能是不等式 太粗糙了, 两边 次方后比较, 就可以看到

Prop

Proof 对 取 .

现在来考虑解析函数空间的拓扑, 要使用类似连续函数空间所使用的 compact-open topology 技术

解析函数 的在每一点 的收敛半径 应该是连续函数

设 compact 属于解析函数 的定义域, 则 在 compact 有非零下确界 . 也即, . 因此我们可以定义 在 的范数为

如果 compact 中存在 使得 则根据解析的定义 在 上解析

对于开集 , 在每个 compact 中解析 <==> 在 中解析

对 compact , 定义空间 (是 Banach 空间)

的拓扑基或者网基, 定义为

表述为

其中 可以换成任何 之外的网结构

Prop

Proof 固定 . 取 得到 . 取 , 取 使得

==>

Prop 在 展开处的 Taylor 多项式 在 上收敛于

Proof

let

取 ? 得到 然后

Prop 对实解析函数, 零阶的 无法控制

Example . . . 由于 , 故不可能

如果将实解析函数延拓到复解析函数 (通过将 从 延拓到 ), 则通过 Cauchy 积分公式可以证明, 拓扑等价于 , 其中

注意, 在非实数空间的 的零阶控制 , 如果想要通过实数函数 和 来表示, 需要实数函数 的高阶导数的控制

以一维的情况为例. let . let

从而 , 即

let , let . let

从而

从而 , 即

Example

(if )

in 解析空间及其网

  • [inverse-op-continous-in-analytic-space] ==>

  • [compose-op-continous-in-analytic-space] and ==>

或者说, 算子都是解析空间的连续函数

same for linear , multiplication , inversion ?

我们要估计 . 我们证明 是 Banach 代数

所以

设 在 上不为零, 于是 也是解析函数. 考虑到 收敛性质可能不同, 如有必要, 缩小 . 于是根据范数的三角不等式和乘法不等式

让 即可?

  • 复合 , 复合逆 . 暂略

解析函数空间拓扑的连通分支

[homotopy-analytic] 解析 同伦

[power-series-analytic-equivalent] 解析等价的幂级数 := 两个幂级数来自同一个解析函数在不同点的幂级数展开. 这等价于所有可能的解析延拓? (Riemann Surface?)

[power-series-analytic-homotopy-equivalent] 解析同伦等价的幂级数 := 两个幂级数来自同一个解析函数同伦类在不同点的幂级数展开