对于 Schrodinger eq, 谐振子 potential
算出所有 δ action Lie bracket
这种交换关系部分地类似 复化特征值化技术 (ref-13, p.20–30) (角动量算子的处理中将会用到)
复化来得到 的特征算子, 得到 [ladder-operator]
这种交换关系说明 的有均匀间隔 的特征值
Question 尝试将这里的技术推广到 (如果可能的话) 经典谐振子
谐振子量子化的升降算子给出的 个 特征态的最低能量态 满足 [harmonic-oscillator-ground-state]
计算 算子的作用, 得到最低能量是
高阶的能量态 (归一化)
能量是
利用 可以将特征态写为
称为 Hermite 多项式
对于量子谐振子, 即使是静态波函数, 也有 种可能的特征能量
Warning 不要认为最低能量是非零的 就认为有凭空的能量, 因为静电氢原子的能量还能是负数
可以证明这个 特征态系列正交展开了
例如用 Fourier 变换的方法证明 展开了
假设正交 , 定义
Fourier 变换
在 的所有阶微分等于零
展开系数 的二次型解释为在 的概率. 能量期望是
升降算子除了使得 特征值有均匀间隔, 还满足 , 使得能对应到
- metric 对称张量空间
- 对称多项式空间
也满足
由于不是 , 所以不同态到 复化特征值化技术的情况
[Gaussian-integral]
对 成立. 含有稠密点, 符合解析延拓唯一性. 解析延拓到 . 但是注意 有二重分支
在 Euclidean 型 上用规范正交基对二次型 对角化
[why-pi-in-Gaussian-integral]
这可能给出了线索之于为什么阶乘的 Stirling 近似 会出现 .
谐振子 ODE 的特征多项式是 , 原型是 , 于是 和复数被引入, 于是有圆, 就有 . 联系于量子谐振子的基态. 为了简化讨论, 省略 . 一般的动量算子 其实会对应到相位改变 , 如果给动量算子加上 伸缩因子, 则动量算子可以对应到相位改变 . 此时, 基态可能也会变成 其中 含有 因子, 并且其 积分直接归一化, 而不需要加入 伸缩因子. 同理, 对于 Feynman 路径积分, 用这种方式就可能不再需要额外的归一化因子或者 Zeta function regularization
Stirling 近似的 的出现可能也是类似的, 应该问, 加上 伸缩因子之后的阶乘 (或者其倒数) 来自哪里, 例如, 来自球和球面的体积计算
另一个启示是, 谐振子的 Feynman 路径积分量子化 的 kernel 中出现的 对应到 阶乘函数 的性质 , 也出现了额外的 伸缩因子, 因此修改后的阶乘函数应该满足 ?
如果谐振子的解 使用固定起始位置 , 则
其中
作用量
其中
对于时间只依赖于差值
[path-integral-quantization]
cf. (ref-28, ch.path-integral-formalism)
propagator 表示用 Feynman 路径积分和 Lagrangian 来构造 unitary
对自由场
分解为经典路径和差距 ,
- 边界是零
==>
现在
其中, 由于自由粒子的经典路径是直线
- 边界是零
==>
现在
作为 Gaussian 积分的推广
- 二次型
- . 为简化记号, 用
==> 特征值 . 正交特征函数 . 正交特征函数的展开 or Fourier 展开
用 正交基进行对角化. 现在
使用 why-pi-in-Gaussian-integral 中的归一化, 无穷乘积的一部分变成 . 最终结果是
总的结果是
对于谐振子, 类似
用分部积分的方法
- 二次型
- . 为简化记号, 用
==> 特征值 . 正交特征函数 . 正交特征函数的展开 or Fourier 展开
用正交基进行对角化, 使用 Gaussian 积分的推广. 和自由场不同之处是, 出现新的无穷乘积 (cf. Euler-reflection-formula)
结果是
总的结果是
这种方法是否无法推广到氢原子问题? 据说有方法能够将氢原子问题变为 对称性下的谐振子的路径积分
Question 启发自 Stokes 定理的证明的讨论中对正则性的分类, 看起来 propagator 和 Sobolev 系的概念很亲和
[eigen-decomposition]
应该有一种 “谱理论”, “谱测度”, 能够通过归一化技术来定义
除了有限维 , 离散可数无穷维的 空间 , 还可以考虑积分无穷维的 空间 . 此时, “基” 也不要求是 的, 例如 . 但是, 函数对基的分解系数 应该是 的,
关于场量子化
一种观点是路径积分式的场量子化
[field-path-integral-quantization] Question 既然谐振子可以路径积分 by 特征值对角化 & 推广 Gaussian 积分, 为什么类似谐振子 eq 的 KG eq (or Dirac eq) 不也进行 特征值对角化 & 推广 Gaussian 积分的路径积分? 而且谐振子的 Lagrangian 很像 KG eq 的 Lagrangian. 然后时间 对应到时空 , 位置 对应到场值 . 但是我不支持用 的矩形来做路径积分, 应该用更加兼容 的设置. 例如可能要将时间间隔 对应到时空二次型的间隔 ? 不用 是因为它并不是平移不变的?
另一种 (?) 观点是场算子式的场量子化
recall Klein--Gordon-equation 考虑平面波解
但这样依赖于时间空间的分解, 不利于推广到一般时空流形
对于 Dirac 场的情况, 要用到别的结构. 用 的两个特征值 Pauli-matrix (ref-18, p.305–308)
加上 parity 后, 是