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  93. 76. 拓扑 struct 的操作
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  100. 81. 度规的联络
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  115. 94. 纯量场的守恒流
  116. 95. 非相对论纯量场
  117. 96. 光锥射影
  118. 97. 时空动量的自旋表示
  119. 98. Lorentz 群
  120. 99. 旋量场
  121. 100. 旋量场的守恒流
  122. 101. 电磁场
  123. 102. 张量场的 Laplacian
  124. 103. Einstein 度规
  125. 104. 相互作用
  126. 105. 谐振子量子化
  127. 106. 旋量场杂项
  128. 107. 参考

note-math

cf. 纯量场的作用量

对称性与守恒流

  • 时空平移

时空平移不固定 “边界”. 变分非零. 类似于点粒子的时间的平移的情况. let

一般地, 区域改变通过 通过 δ diffeomorphism 给出

另一方面, 使用变量替换公式

交换微分和积分

将其应用于

考虑 平移的变分的作用量的微分. let . 一阶微分

use product rule

收集的 项是零 by Lagrange-equation

得到

for all 区域 ==> 被积项也相等

[energy-momentum-tensor-KG]

散度零

for 计算

or

可以看到这个 EM tensor 在指标下降后 是 symmetric 的

再加上 KG 作用量 是实数值, 从而其 EM tenosr 是实数值

假设 的 EM tensor 可对 积分. 使用记号 . energy

一般 potential =>

relativity scalar field 的能量是实数且是正的

[conserved-spatial-integral-energy-KG]

固定 坐标, 认为 是可 积分的量

只要假设通量密度 就有 time invariant of

  • . 场的能量守恒

  • . 场的动量 (?) 守恒

其它 分量 e.g. , 是沿 方向 invariant. 使用 , 的积分及其 . 区域逼近的极限 是对双曲测地线球 (多半径)

Example 对于平面波展开

能量是 (Question)

  • 旋转和 boost

对于场, 无论是空间旋转还是 boost, 即使 Lagrangian 不变, 作用量还是改变

现在用记号

  • 的空间旋转. 则 所以切向量是

    设 是空间旋转轴, 则切向量将是

  • 的 boost. 则 所以切向量是

    设 是空间 boost 轴, 则切向量将是 ( 时空 metric 有负定空间)

现在用记号 . 旋转和 boost 的切向量合起来记为 , 作为 δ 时空旋转 作用在场 , 作为 δ diffeomorphism

利用 KG 方程, 移项, 得到散度零守恒流

[angular-momentum-KG] let 是 KG 场的能动张量. 场的角动量

or

  • 规范场下 KG 场的电流

let 是 KG eq 的解. 相位改变 及其 δ 改变 属于解附近的边界固定的变分, 所以

使用 product rule + 散度量 + Stokes 定理 + 边界零

for all 值函数 , 所以

被称为 KG 场的 4-电流 [current-gauge-KG]

固定 坐标, 认为 4 电流分量是可 积分的量, 则有零分量即电荷守恒 [conserved-spatial-integral-charge-KG]

注意非正定性, 是 anti-Hermitian 的