[transformation-group]
复合可以认为是一种运算 . 如果固定其中一个位置, 可以
- 前置复合 , 也称为右乘
- 后置复合 , 也称为左乘
映射/函数的复合运算是结合的
- 如果 是双射, 映射的复合 是双射
- 恒等映射 是双射, 是复合运算 的单位元:
- 映射的逆 是复合运算 的逆元:
所以我们有变换群的概念: 到自身的所有双射 组成的群 , 以及 的子群, 通常是来自保持某种 上的结构的双射组成的群, 例如
- 有 线性结构, 保持线性结构的双射组成 , 是 的子群
类似于幂集 被记为 , 可记为 , 因为是 到自身的双射组成置换群 , 集合的元素数量是
[binary-operation-group]
也有二元运算群的概念: Example 实数加法, 向量空间的加法
加法 是结合的
- 零 是加法运算 的单位元
- 加法逆 是加法运算 的逆元
类似于 curry 化 " 等价于 ", 变换群和运算群可以相互同构地转换
将复合 作为 上二元运算, 可以将变换群同构地转为运算群
可以将运算群同构地转为变换群, 例如
-
左运算 作为 到自身的双射
- , by 结合律
-
右运算 作为 到自身的双射
- , by 结合律
非零实数 的乘法 也组成群
非零八元数 的乘法不是结合的: 一般地
所以这种非结合运算群不同构于 形成的 的结合变换群:
[group-homomorfsm]
Def 群同态
这蕴含
-
by
-
by
Example 到 的同态
[group-isomorfsm] Def 群同构: 是双射且 是群同态
Example 到 的同构 , 逆映射 是同态
Prop 如果 是同态且是双射, 则 是同构
Proof
需要证明 是同态
由满射, forall , 存在 使得
由同态
由可逆
所以
[subgroup]
群 的子群 定义为
- 子集
- 二元运算封闭
- 逆运算封闭
等价地, 恒等嵌入 是群同态
Example 上的乘法群有子群
Prop 是子群 ==> 是子群
设 是群同态, 是子群, 则 是子群
是子群, 从而 是子群
[group-kernel] Def 群同态的核
是单射 <==>
设 是子群, 则 是子群
[group-action] Def 群作用 := 一个群 同态到 的双射同构群 , 也叫做表示 (representation)
或者同态到 image 群
群作用也可以写为以下的形式
并满足
通常省略 而写成
[orbit] :=
Example 作用在 , orbit
[isotropy] :=
Example 作用在 , isotropy = 绕 所在轴的旋转, 是嵌入的
是 的子群
换 orbit 基点后的 orbit. forall ==>
Proof
是双射. (可逆.) 所以
[decomposition-into-orbit]
Proof
逆否命题
只需要证明 <==
但我们已经证明过
Example , 不同 orbit 就是不同半径的球面
orbit 的集合 :=
可以给出被作用空间 的加法分解
换 orbit 基点 后的 isotropy
映射
- 同态
- 双射
[isotropy-in-same-orbit-is-isom] 从而是 到自身的群同构, 限制在 上得到子群之间的同构. 或者说, 如果 在相同的 orbit 上 , 则 isotropy 群同构
也可以写为
使用 作用在 上的逆像, 可以将 分解
计算 的逆像
-
一般不是群. 例如, 当 时, , 从而 , 因为
-
是因为 是双射, 从而限制在 上是双射
-
[orbit-istropy-product-decomposition] orbit 和 isotropy 形成群 在集合上的积分解:
对于每个 , 选取一个 使得 (选择公理)
于是存在双射
这蕴含
也蕴含
[conjugate-action] 共轭作用, 类似于换坐标
Example
- 线性映射在不同基下的表示
- 流形的映射在不同坐标的表示
可以认为 形成 在自身上的作用
Proof
共轭作用的
- orbit 称为 [conjugate-class]
- isotropy 称为 的 centralizer
Example 置换的 conjugate-class 是循环
共轭作用的 isotropy 给出的是与 交换的
其中 被称为群 的交换子 [commutator]
[action-surjective] alias [action-transitive] := 以下定义等价
- 是满射
Example 作用在 不 transitive. 作用在 是 transitive
[action-injective] alias [action-free] := 以下定义等价
- 每个 orbit 都是 的 copy
[action-faithful] := 以下定义等价
- 群作用的群同态 是单射
Proof
if
if
if 群作用的群同态 是单射
if
Prop action-free ==> action-faithful
[coset]
给出 的子群 , 可以定义 coset
左陪集 (left coset)
右陪集 (right coset)
左/右乘 给出 到 的群作用
Prop
- 右/左 coset 是相应的 orbit
- 左/右陪集构成 的划分: forall , 要么 , 要么
- 左/右陪集的基数相等:
- 对每个 , isotropy 是 也即 , , 从而是 action-free
是 orbit 集合
[action-on-coset]
群 可以作用在 上
由于 是双射, 于是 可以将 映射到整个 , 于是这种作用是 action-transitive 的
的 isotropy 是 , 由于 是子群, 这等价于
- ==> 映射 在 上是双射 ==>
- ==> ==>
从而 的 isotropy
有 product decompostion
[product-group] 设 是群, 则 也是群, 乘法定义为
[subgroup-coset-sub-quotient-decomposition]
Def 子集乘法运算: forall
Prop 满足结合律
特别地, 中的 coset 的乘法运算
Prop
我们知道有集合的 product 分解 , 而 是子群. 如果我们想要让它在以上 coset 的乘法运算下成为 product-group 分解, 则需要以上的 coset 的乘法运算构成群
有以下的等价命题
- 是群且 , 此时称 是商群 [quotient-group] , 是群同态,
- 对每个 , 左右陪集相同
- 是正规子群 [normal-subgroup] 或者称为不变子群 [invariant-subgroup] , 共轭群作用 保持 , 从而可以限制在 形成群作用. , 实际上
然而这种分解一般不是 product-group 分解
如果 是交换群 [commutative-group] alias [abelian-group] , 则其所有子群也是交换群且是正规子群
对于 , 如果存在 使得 , 则定义 的阶为
Example
循环群
取
则
的元素的阶 , 而 的阶为
分解应该理解为 是群同态嵌入且 是群同态覆盖
这种分解的自然性也取决于你是否认为 coset 上的那种继承的乘法运算是好的构造
[simple-group] 不存在 或 之外的正规子群的群 叫做 simple 群
Example let 有限群, let . 则 是有限集且是子群. 存在最小的 使得 , 从而 . 让群 作用于 coset 空间 , isotropy , 于是 or 被 整除
Prop 是 的子群, set of cosets 同构于 orbit
Proof 我们构造双射. let , 选取 使得 . 考虑映射
- 单射: ==> ==>
- 满射: 设 , 取 使得 , 则取 即可
[Burnside-lemma] 定义 为 的 fix point set, 则存在双射
这蕴含