note-math

Example #link(<interval>)[] #link(<best-interval-decomposition>)[]

connected_(tag) 连通 or 极限连通 := 极限点集分解不再可能 or 闭集分解不再可能

$𝑋 = ⨆_{𝑖 \in 𝐼} 𝐴_{𝑖}$ with $𝐴_{𝑖}$ closed ==> $| 𝐼 | = 1$

直观的说法是, 连通 = 不能给出任何实质的分解. 对任何集合分解 $𝑋 = ⨆ 𝐴_{𝑖}$ , 由 $𝑋 = ⋃ {\bar{𝐴}}_{𝑖}$ + 连通, 每个 $𝐴_{𝑖}$ 必定和某个其它的某个 $𝐴_{𝑗}$ 在极限点之后相接: $\exists 𝑗 \neq 𝑖, {\bar{𝐴}}_{𝑖} \cap {\bar{𝐴}}_{𝑗} \neq \emptyset$

闭集分解的每个 $𝐴_{𝑖}$ 是开集

Proof $𝐴_{𝑖} = 𝑋 ∖ \bar{⋃_{𝑖^{'} \neq 𝑖} 𝐴_{𝑖^{'}}}$

连通的定义等价于分解为两个闭集的版本

$𝑋 = 𝐴 ⊔ 𝐴^{'}$ with $𝐴, 𝐴^{'}$ closed ==> $(𝑋 = 𝐴) \lor (𝑋 = 𝐴^{'})$

Proof 对分解取极限得到 $⋁_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋 = 𝐴_{𝑖}$

连通子集 := 拓扑子空间连通

Example $ℝ$ 连通. $ℝ$ 存在连通和不连通集. 连通集可能不是 $T_{ℝ}$ 闭集

real-connected-is-interval_(tag) $ℝ$ 的连通集就是区间 Proof by 区间连通 + 最优区间分解 + 最优区间分解中区间数 $> 1$ 不连通

connected-imply-closure-connected_(tag) $𝑆$ 是连通集 ==> $\bar{𝑆}$ 是连通集

Proof

$\bar{𝑆}$ close ==> $T_{\bar{𝑆}}$ 闭集是 $T_{𝑋}$ 闭集

let 闭集分解 $\bar{𝑆} = 𝐴 ⊔ 𝐴^{'}$

$T_{𝑆}$ 闭集分解 $𝑆 = (𝑆 \cap 𝐴) ⊔ (𝑆 \cap 𝐴^{'})$ and $𝑆$ 连通 ==> 其中一个是空集, say $𝑆 \cap 𝐴^{'} = \emptyset$ so $𝑆 \subset 𝐴$

但 $\bar{𝑆}$ 是包含 $𝑆$ 的最小闭集, so $\bar{𝑆} = 𝐴$ and $𝐴^{'} = \emptyset$

$\bar{𝑆}$ 不是连通集 ==> $𝑆$ 不是连通集

connected-componet_(tag) 连通分支分解 := 极限点集的分解的极限 $𝑋 = lim ⨆_{𝑖 \in 𝐼} 𝐴_{𝑖}$ , 使得每个极限点集 $𝐴_{𝑖}$ 不可再分解 i.e. 连通

确实是 #link(<net>)[网] 意义上的唯一极限. 网来自 $𝑋$ 的两个闭集分解可以取共同加细分解 + 闭集对有限交集封闭

$𝑆$ is $T_{𝑆}$ 连通 or $𝑆$ 不可 $T_{𝑆}$ 闭集分解 and $T_{𝑋}$ 有闭集分解 $𝐴 ⊔ 𝐴^{'}$ ==> $(𝑆 \subset 𝐴) \oplus (𝑆 \subset 𝐴^{'})$

Proof $T_{𝑆}$ 的闭集分解 $(𝑆 \cap 𝐴) ⊔ (𝑆 \cap 𝐴^{'})$ 导致其中一个集合是空集

$𝐴$ 是极限连通集 ==> $𝐴$ 在 $𝑋$ 的唯一一个极限连通分支里

Proof $𝐴$ 的点必定在 $𝑋$ 从而在某个连通分支里

==> 即使 $𝑋$ 仅仅只是分解为连通集合, 也已经是连通分支分解

有共同点 $𝑥$ 的连通集 $𝑆_{𝑖}$ 的并集 $⋃_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖}$ 连通

recall #link(<topology-subspace>)[子拓扑的继承性]. 所以连通也继承

所以只需要处理 $⋃_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖} = 𝑋$ 的情况

Proof 包含 $𝑥$ 的连通集都在同一个连通分支里面. 说明 $⋃_{𝑖 \in 𝐼} 𝑆_{𝑖} = 𝑋$ 只有一个连通分支, 从而连通

连通分支是连通集族的 $\subset$ #link(<maximal-linear-order>)[极大线序] 的极大元

连续函数的 image 传递连通

连续函数 inverse-image 传递非连通 as 逆否命题

Proof 闭集分解 $𝑌 = 𝐴 ⊔ 𝐴^{'}$ ==> 闭集分解 $𝑋 = 𝑓^{- 1} (𝐴) ⊔ 𝑓^{- 1} (𝐴^{'})$

==> mean-value-theorem-continuous_(tag) 连续函数介值. 连续函数 $𝑓 : 𝑋 \to ℝ$ 的像 $𝑓 (𝑋)$ 连通 #link(<real-connected-is-interval>)[从而] 是区间

如果 $𝑌$ 任何两点都在某个连通子集 $𝑆$ 中, 则 $𝑌$ 连通. Proof let $𝑌 = 𝐴 ⊔ 𝐴^{'}$ with $𝐴, 𝐴^{'}$ closed, 证明 $𝐴 \lor 𝐴^{'} = \emptyset$ . 或者 $𝑌 = ⋃_{𝑦 \in 𝑌} 𝑆 (𝑦_{0}, 𝑦)$ and 有共同点 $𝑦_{0}$ 的连通集 $𝑆 (𝑦_{0}, 𝑦)$ 的并集是连通的

==> let $𝑋$ 连通. 如果 $𝑌$ 任何两点都在某个连续函数连通像 $𝑓 (𝑋)$ 中, 则 $𝑌$ 连通

==> 道路连通

product-topology-preserve-connected_(tag) #link(<product-topology>)[积拓扑] 保持连通

Proof

使用共同点方法 + 每个 $𝑋_{𝑖}$ 连通 ==> 所有 "十字形" 子集是连通的

𝐶_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑛}} = \prod_{𝑖 \in 𝐼} {\begin{matrix} 𝑋_{𝑖} & if 𝑖 = 𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑛} \\ {𝑥_{𝑖}} & else \end{matrix}

再次使用共同点方法, 十字形子集的并集 $𝐶 = ⋃_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑛}} 𝐶_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑛}}$ 组成了连通子集

$\bar{𝐶} = \prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ and #link(<connected-imply-closure-connected>)[] ==> $\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 连通

Proof of $\bar{𝐶} = 𝑋$

只需要证明 $\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 点网系统的每个集相交于某个十字形 $𝐶_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑛}}$

$\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 的点网系统的集合是

𝑓_{𝑖_{1}}^{- 1} (𝐵_{𝑖_{1}}) \cap \dots \cap 𝑓_{𝑖_{𝑛}}^{- 1} (𝐵_{𝑖_{𝑛}})

它相交于十字形 $𝐶_{𝑗_{1}, \dots, 𝑗_{𝑛}}$

let 连通分支分解 $𝑋_{𝑖} = \prod_{𝑗 \in 𝐽 (𝑖)} 𝐴_{𝑖, 𝑗 (𝑖)}$

$\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 的所有连通分支是

\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝐴_{𝑖, 𝑗 (𝑖)} : 𝑗 \in \prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝐽 (𝑖)

Proof 使用 #link(<dependent-distributive>)[] $\prod_{𝑖 \in 𝐼} ⨆_{𝑗 \in 𝐽} 𝐴_{𝑖, 𝑗 (𝑖)} = ⨆_{𝑗 \in 𝐽} \prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝐴_{𝑖, 𝑗 (𝑖)}$ and 连通的 product 连通, 所以 $\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝐴_{𝑖, 𝑗 (𝑖)}$ 连通, 从而已经不能再分解

定义 (how?) $𝑓 \in 𝐶 (𝑋 \to 𝑌)$ 的拓扑或极限点之后 (should be something compact open topology?)

homotopy_(tag) 同伦 or 极限点同伦 := $𝐶 (𝑋 \to 𝑌)$ 是极限连通的

Example $ℝ^{𝑛 + 1} ∖ 0$ 同伦到 $𝕊^{𝑛}$

homotopy-class_(tag) := $𝐶 (𝑋 \to 𝑌)$ 的连通分支

由于复合保持连续, 复合导出 $𝐶 (𝑋 \to 𝑌)$ 上的运算. 证明是否良定义. 有时可逆, 使得是群运算