note-math

action-point-particle-relativity_(tag) 作用量

\int 𝑑 𝑙 (𝑚 𝑐) = \int 𝑑 𝜏 (𝑚 𝑐 | \dot{𝑥} |)

结果是测地线

使用时空 $ℝ^{1, 3}$ 的 metric volume form $𝑑 Vol = | det 𝑔 |^{\frac{1}{2}} 𝑑 𝑥$ 限制在一维路径, 得到长度 $𝑑 𝑙$ , 使用的是二次型的平方根, 而不是单纯的二次型

对于路径, 在 "时间坐标" $𝑥^{0} (𝑡) = 𝑐 𝑡$ , let $𝑣 = \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} 𝑥 . space$ . 作用量

𝑑 𝑙 = 𝑚 𝑐^{2} {(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}} 𝑑 𝑡

equation-point-particle-relativity_(tag) let $𝐿 (𝑥, 𝑣) = 𝑚 𝑐^{2} {(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . 类似 #link(<point-particle-Lagrange-equation>)[非相对论的情况], 作用量的方程

\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} - \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑣} ⟺ \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \frac{𝑚 𝑐^{2} 𝑣}{{(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0

point-particle-relativity-approximate-to-non-relativity_(tag) 相对论作用量 "近似" 到非相对论作用量

𝑚 𝑐^{2} {(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}} = 𝑚 𝑐^{2} - \frac{1}{2} 𝑚 𝑣^{2} + {𝑂 (\frac{𝑣}{𝑐})}^{2}

然后常值 $𝑚 𝑐^{2}$ 将会变分到零 $0$

这种非相对论近似极限的方式是坐标依赖的. 在弯曲流形上, 由于可能需要多个坐标覆盖整个流形, 非相对论近似极限的的定义问题会更困难

对称与守恒量

$ℝ^{1, 3}$ 时空的对称群是 isometry $SO (1, 3) ⋊ ℝ^{1, 3}$ alias Poincare 群

平移

使用时间坐标. 类似于非相对论的情况, #link(<energy-point-particle-non-relativity>)[能量] 和 #link(<momentum-point-particle-non-relativity>)[动量] 的相对论版本是 energy-momentum-point-particle-relativity_(tag)

\begin{matrix} 𝐸 & = & \frac{\partial 𝑓}{\partial 𝑣} \cdot 𝑣 - 𝑓 & 𝑝 & = & \frac{\partial 𝑓}{\partial 𝑣} \\ 𝐸 & = & \frac{𝑚 𝑐^{2}}{{(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}} & 𝑝 & = & \frac{𝑚 𝑣}{{(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}} \end{matrix}

记为 4-动量

𝑚 𝑐 \dot{𝑥} = \frac{𝑚 (𝑐, 𝑣)}{{(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}} = (\begin{matrix} \frac{𝐸}{𝑐} \\ 𝑝 \end{matrix})

相对论 Lagrangian $| \dot{𝑥} |$ 在 $SO (1, 3)$ 下 invariant, 但 boost 仍然改变路径的时间和空间的端点 i.e. 改变作用量 $\int 𝑑 𝜏 (𝑚 𝑐 | \dot{𝑥} |)$

旋转

类似于非相对论的情况, #link(<rotation-momentum-point-particle-non-relativity>)[momentum-point-particle-non-relativity] 的相对论版本是 rotation-momentum-point-particle-relativity_(tag)

𝑥 \times 𝑝 = \frac{𝑥 \times 𝑚 𝑣}{{(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}

boost

boost by #link(<hyperbolic-angle>)[双曲角度]

exph 𝜃 i_{split} = (\begin{matrix} cosh 𝜃 & sinh 𝜃 \\ sinh 𝜃 & cosh 𝜃 \end{matrix})

所以 δ boost by 双曲角度, 是

𝜃 i_{split} = (\begin{matrix} 𝜃 \\ 𝜃 \end{matrix})

在 $ℝ^{1, 3}$ 的一个坐标中, let 空间向量 $𝑛 \in ℝ^{3}$ , $| 𝑛 | = 𝜃$ , 对应 δ boost, 定义双曲 cross product $𝑛 \times (\begin{matrix} 𝑐 𝑡 \\ 𝑥 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝑐 𝑡 + 𝑛 \cdot 𝑥 \\ 𝑥 + 𝑐 𝑡 𝑛 \end{matrix})$

类似于能量的情况, boost 也改变作用量

boost 动量的计算结果中会出现 4-动量从而出现能量 $𝐸$

boost-momentum-point-particle-relativity_(tag)

\begin{matrix} (\begin{matrix} \frac{𝐸}{𝑐} \\ 𝑝 \end{matrix}) \cdot (𝑛 \times (\begin{matrix} 𝑐 𝑡 \\ 𝑥 \end{matrix})) & = & 𝑛 \cdot (\begin{matrix} 𝐸 𝑡 - 𝑝 \cdot 𝑥 \\ 𝑐 𝑡 𝑝 - \frac{1}{𝑐} 𝐸 𝑥 \end{matrix}) \\ spatial-part & = & 𝑛 \cdot (\begin{matrix} 𝑐 𝑡 𝑝 - \frac{1}{𝑐} 𝐸 𝑥 \end{matrix}) \end{matrix}

注意 $(1, 3)$ 时空 metric 有负定的空间 metric

空间 $ℝ^{3}$ 向量

𝑐 𝑡 𝑝 - \frac{1}{𝑐} 𝐸 𝑥 = \frac{𝑚 𝑐 (𝑡 𝑣 - 𝑥)}{{(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}

也是称为 boost 动量

由于使用了 $ℝ^{1, 3}$ 坐标对时间和空间的分离, 尽管旋转动量和 boost 动量是 $SO (1, 3)$ invariant 的, 但表示方式 $𝑥 \times 𝑝$ 和 boost 动量 $𝐸 𝑥 - 𝑡 𝑝$ 不是 invariant 的

结合起来, 可以写为角动量 $𝐿_{𝜇 𝜈} = [𝑥_{𝜇}, 𝑝_{𝜈}]$

粒子系统

potential $𝑈 (| 𝑥 |), \sum_{𝑖 < 𝑖^{'}} 𝑈 (𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}}), \sum_{𝑖 < 𝑖^{'}} 𝑈 (| 𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}} |)$

potential $𝐴 (𝑥) (\dot{𝑥}) = 𝐴_{0} (𝑥) {\dot{𝑥}}^{0} + \dots + 𝐴_{3} (𝑥) {\dot{𝑥}}^{3}$

point particle in Lorentz-manifold

对于作用量

\int 𝑑 𝑙

和守恒量, 需要用 metric-connection 和 δ-isometry

Example

$ℝ^{1, 3}$ 相对论点粒子和规范场的耦合. 作用量

\begin{matrix} \int 𝑑 𝜏 (𝑚 𝑐 | \dot{𝑥} | + \frac{𝑒}{𝑐} \cdot 𝐴 (𝑥) \cdot \dot{𝑥}) \\ = & \int 𝑑 𝑡 (𝑚 𝑐^{2} {(1 - {(\frac{𝑣}{𝑐})}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 𝑒 (ϕ - A \cdot 𝑣)) \end{matrix}

Question

隐藏的 $U (1)$ 规范对称性

场相互作用中使用的规范变换 $𝑒^{𝜃}$ 会导致联络的变换 $𝐴 = 𝐴^{'} + 𝑑 𝜃$ . 对于点粒子和电磁场的作用量, $𝑑 𝜃$ 是散度量 $𝑑 𝜃 (𝑥) \cdot \dot{𝑥} = \frac{𝑑}{𝑑 𝜏} 𝜃 (𝑥 (𝜏))$ , 用边界是零, 得到变分是零

尽管 invariant 的是方程而不是作用量

这不同于例如纯量场的情况是, 作用量也 invariant, 而方程的 invariant 通过协变导数的定义

current-gauge-particle_(tag) 这种隐藏的 $U (1)$ 规范对称性是否能给出点粒子的守恒 4-电流? $(𝜌, j) = 𝑗 = 𝜌 (1, v) = 𝜌 𝑣$