note-math

net_(tag)

$B$ a net of $𝐴$ := $B \subset Subset (𝐴)$ (a collection of subset of $𝐴$ ) with property

$\forall 𝐵 \in B, 𝐵 \neq \emptyset$
$\forall 𝐵_{1}, \dots, 𝐵_{𝑛} \in B, \exists 𝐵 \in B, 𝐵 \subset 𝐵_{1} \cap \dots \cap 𝐵_{𝑛}$
(含义: 收敛到极限之前非空. 如果 $B$ 元素无限那么有限交集控制着收敛方向, 尽管可能 $\emptyset = ⋂ B$ . 如果 $B = {𝐵_{1}, \dots, 𝐵_{𝑛}}$ 元素有限那么 $\emptyset \neq 𝐵_{1} \cap \dots \cap 𝐵_{𝑛} \in B$ )

Example $𝑋 = ℕ$ , 网 $B = {𝑛, 𝑛 + 1, \dots}_{𝑛 = 0 . . \infty}$

点网 or 包含点 $𝑥 \in 𝑋$ 的网 $B (𝑥) ≔ \forall 𝐵 \in B (𝑥), 𝑥 \in 𝐵$

网 $B$ 细于 $B^{'}$ := $\forall 𝐵^{'} \in B^{'}, \exists 𝐵 \in B, 𝐵 \subset 𝐵^{'}$
并且这蕴含 $⋂ B \subset ⋂ B^{'}$

net-same-limit_(tag) $B, B^{'}$ 极限相同 := 相互细于

并不是所有极限相同的网都有用. 集合论上可用 $\cup$ 构造出新的极限相同的网, 但有很多冗余

任何网都可以补充所有的有限交集 ${𝐵_{1} \cap \dots \cap 𝐵_{𝑛} : 𝑛 \in ℕ, 𝐵_{1}, \dots, 𝐵_{𝑛} \in B}$ 成为新的网, 并保持相同的极限

hom-limit_(tag) 网之间的极限同态 :=

$𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ . 网 $𝑓 (B_{𝑋})$ 细于 $B_{𝑌}$

\begin{matrix} \forall 𝐵_{𝑌} \in B_{𝑌} \\ \exists 𝐵_{𝑋} \in B_{𝑋} \\ 𝑓 (𝐵_{𝑋}) \subset 𝐵_{𝑌} or 𝐵_{𝑋} \subset 𝑓^{- 1} (𝐵_{𝑌}) \end{matrix}

$\subset$ 用点来描述就是 $\forall 𝑎 \in 𝐵_{𝑋}, 𝑓 (𝑎) \in 𝐵_{𝑌}$

Example

使用包含 $𝑎$ 的所有区间 $B_{ℝ} = I (𝑎)$ 和 $B_{ℕ} = {𝑛, 𝑛 + 1, \dots}_{𝑛 = 0 . . \infty}$ , 则 $ℕ \to ℝ$ 极限同态

\begin{matrix} \forall 𝐼 (𝑎) \in I (𝑎) \\ \exists {𝑛, 𝑛 + 1, \dots} \in B_{ℕ} \\ {𝑎_{𝑛}, 𝑎_{𝑛 + 1}, \dots} \subset 𝐼 (𝑎) \end{matrix}

let $𝑓 : ℝ \to ℝ, 𝑓 (𝑥) = 𝑦$ , 从 $I (𝑥)$ 到 $I (𝑦)$

\begin{matrix} \forall 𝐼_{𝑦} \in I (𝑦) \\ \exists 𝐼_{𝑥} \in I (𝑥) \\ 𝑓 (𝐼_{𝑥}) \subset 𝐼_{𝑦} \end{matrix}