note-math

cf. #link(<curvature-of-metric.typ>)[]

Einstein-Lagrangian_(tag) := $(scal - 2 Λ) 𝑑 Vol$ . 在坐标中 $𝑑 Vol = | 𝑔 | 𝑑 𝑥$

Question 纯量曲率用于作用量, 有什么好的解释吗?

作用量包含 $𝑔$ 的二阶微分, 所以不能用一般的一阶微分 action 理论

scalar-curvature 不是 homology-scalar-curvature, 后者的积分 (比例于 $𝜒 (𝑀)$ ?) is homology invariant, 故总是变分到零, have trivial eq

Prop 对 $𝑔$ 的变分 $Δ scal \sim - Ric + divergence term, Δ | 𝑔 | \sim \frac{1}{2} | 𝑔 | 𝑔$

所以 product rule 给出

Prop Einstein-Lagrangian 中 $Δ (scal | 𝑔 |) \sim | 𝑔 | (Ric - \frac{1}{2} scal 𝑔) + divergence term$

Proof

Prop $det$ 的微分是 $\partial det (𝐴) = det 𝐴 tr (𝐴^{- 1} \partial 𝐴) = det 𝐴 tr (\partial log 𝐴)$

Proof

$det (𝑋) = det (𝐴) det (𝐴^{- 1} 𝑋)$ and $\partial det (𝟙) = tr$ . 所以

\begin{matrix} \partial det (𝐴^{- 1} 𝑋) (𝐴 : base, Δ 𝑋 : vector) \\ = & \partial det (𝟙 : base, \partial (𝐴^{- 1} 𝑋) (𝐴 : base, Δ 𝑋 : vector) : vector) \\ = & tr (𝐴^{- 1} Δ 𝑋) \end{matrix}

所以 volume form 的变分是

\begin{matrix} Δ | 𝑔 | & = & Δ | det 𝑔 |^{\frac{1}{2}} \\ = & \frac{1}{2} | det 𝑔 |^{\frac{1}{2}} tr (𝑔^{- 1} Δ 𝑔) \end{matrix}

将 $Ric$ 作为矩阵, 则 adjoint ${(𝑔 \cdot)}^{†}$ 可以写为

\begin{matrix} scal & = & {(𝑔 \cdot)}^{†} Ric \\ = & tr (𝑔^{- 1} Ric) \end{matrix}

Prop $𝐴 ⇝ 𝐴^{- 1}$ 的微分是 $- 𝐴^{- 1} (\partial 𝐴) 𝐴^{- 1}$ . Proof 使用 $0 = \partial 𝟙 = \partial (𝐴 𝐴^{- 1}) = \partial 𝐴 \cdot 𝐴^{- 1} + 𝐴 \cdot \partial (𝐴^{- 1})$

所以 scalar-curvature 的变分是

Δ scal = tr (- 𝑔^{- 1} (Δ 𝑔) 𝑔^{- 1} Ric) + tr (𝑔^{- 1} Δ Ric)

对以下进行繁琐的计算

$Δ Ric = Δ ({(𝑔 ⧀)}^{†} 𝑅)$
$Δ 𝑅$
$Δ Γ$

这可能对计算是有用的 $\nabla {(𝑔 ⧀)}^{†} = {(𝑔 ⧀)}^{†} \nabla$ and $\nabla {(𝑔 \cdot)}^{†} = {(𝑔 \cdot)}^{†} \nabla$

tr (𝑔^{- 1} Δ Ric) = \nabla^{†} \nabla tr (𝑔^{- 1} Δ 𝑔) + \nabla_{⊙}^{†} \nabla_{⊙}^{†} Δ 𝑔

是散度量 (cf. #link(<Laplacian-of-tensor-field.typ>)[] for $\nabla^{†}, \nabla_{⊙}, \nabla_{⊙}^{†}$ )

$tr (𝑔^{- 1} Δ 𝑔) = 𝑔 (Δ 𝑔, 𝑔)$
$tr (- 𝑔^{- 1} (Δ 𝑔) 𝑔^{- 1} Ric) = 𝑔 (Δ 𝑔, - Ric)$

==>

$Δ | 𝑔 | = \frac{1}{2} | 𝑔 | 𝑔 (Δ 𝑔, 𝑔)$
$Δ scal = 𝑔 (Δ 𝑔, - Ric) + divergence term$

令作用量的变分是零

0 = - \int 𝑑 𝑥 | 𝑔 | 𝑔 (Δ 𝑔, Ric - (\frac{1}{2} \cdot scal - Λ) \cdot 𝑔)

forall $Δ 𝑔$ , 所以

Einstein-equation_(tag) Einstein-metric_(tag)

Ric - (\frac{1}{2} \cdot scal - Λ) \cdot 𝑔 = 0

等价于 (by taking ${(𝑔 \cdot)}^{†}$ )

\begin{matrix} Ric & = & \frac{2 Λ}{𝑛 - 2} \cdot 𝑔 \\ = & \frac{1}{𝑛} \cdot scal \cdot 𝑔 \end{matrix}

with $Λ = (\frac{1}{2} - \frac{1}{𝑛}) scal$

i.e. $Ric$ 常值比例于 $𝑔$ 且 scalar-curvature 是常数

等价地

\begin{matrix} tr-free-Ric & = & 0 \\ scal & = & \frac{2 Λ}{𝑛 - 2} \end{matrix}

i.e. trace-free Ricci-curvature 是零, 且 scalar-curvature 是常数

Einstein-equation 是 $𝑔$ 的二阶非线性 PDE

when $𝑛 = 4$ , $Ric = Λ \cdot 𝑔$ with $Λ = \frac{1}{4} scal$

存在相互作用时, 尽管 $𝑇 = Ric - (\frac{1}{2} \cdot scal - Λ) \cdot 𝑔 \neq 0$ , 仍然有散度是零 $\nabla_{⊙}^{†} 𝑇 = 0$

Proof

$𝑔$ 不需要是 Einstein-metric

δ diffeomorphism $𝑋$ 会生成 metric 的一阶无穷小量 $Δ 𝑔 = \nabla_{⊙} 𝑋$

因为 Einstein 作用量是微分同胚不变的, 所以 δ diffeomorphism $𝑋$ 变分的结果是零

\begin{matrix} 0 & = & \int 𝑔 (Δ 𝑔, 𝑇) 𝑑 Vol (𝑔) \\ = & \int 𝑔 (\nabla_{⊙} 𝑋, 𝑇) 𝑑 Vol (𝑔) \\ = & \int 𝑔 (𝑋, \nabla_{⊙}^{†} 𝑇) 𝑑 Vol (𝑔) \end{matrix}

forall $𝑋$ , 所以 $\nabla_{⊙}^{†} 𝑇 = 0$

\nabla_{⊙}^{†} (Ric - (\frac{1}{2} \cdot scal - Λ) \cdot 𝑔) = 0

这将会给出

\nabla_{⊙}^{†} Ric = \nabla_{⊙} scal

Prop 对于 Einstein 作用量, δ-isometry 的能动张量将会是零

moduli-space-of-Einstein-metric := diffeomorphism 作用于 metric 空间的 orbit 空间, 限制在 Einstein-metric space. isotropy-group is isometry

Question 即使我们知道每个流形的所有 Einstein-metric, 也仍然不知道应该选择哪个流形

Question constant-sectional-curvature or simple-symmetric-space 的流形分类似乎是令人满意的

当 dimension $\geq 4$ 存在流形不允许 constant-sectional-curvature metric 但允许 Einstein-metric

Schwarzschild-metric_(tag) in $ℝ^{1, 3}$ := 渐进平直静态球对称, 作为 non-relativity gravity in $ℝ^{3}$ 的最简单推广. 在空间 $ℝ^{3}$ 使用球坐标

𝑔 = (1 - \frac{2 𝑚}{𝑟}) 𝑑 𝑡^{2} - ({(1 - \frac{2 𝑚}{𝑟})}^{- 1} 𝑑 𝑟^{2} + 𝑟^{2} 𝑔_{𝕊^{2}})

with $scal = 0$ and $Ric = 0$ . 从而只有 conformal curvature

推广到 $ℝ^{1, 𝑛 - 1}$ ?

𝑔 = (1 - \frac{2 𝑚}{𝑟^{𝑛 - 3}}) 𝑑 𝑡^{2} - ({(1 - \frac{2 𝑚}{𝑟^{𝑛 - 3}})}^{- 1} 𝑑 𝑟^{2} + 𝑟^{2} 𝑔_{𝕊^{𝑛 - 2}})

Schwarzschild-metric-derivation_(tag) (ref-9, ch.4)

假设 metric 球对称

𝑔 = 𝑓_{𝑡} {(𝑟)}^{2} 𝑑 𝑡^{2} - (𝑓_{𝑟} {(𝑟)}^{2} 𝑑 𝑟^{2} + 𝑓_{𝕊^{2}} {(𝑟)}^{2} 𝑔_{𝕊^{2}})

点粒子引力源 i.e. 点粒子之外 Einstein 方程 with $Λ = 0$ 给出 $𝑓_{𝑟} = {(𝑎 𝑓_{𝑡})}^{- 1}, 𝑓_{𝕊^{2}} = 𝑟$

渐进平坦 i.e. 逼近 $ℝ^{1, 3}$ metric $𝑑 𝑡^{2} - (𝑑 𝑟^{2} + 𝑟^{2} 𝑔_{𝕊^{2}})$ when $𝑟 \to \infty$ , 给出 $𝑎 = 1$ , 然后 Einstein 方程给出 $𝑓_{𝑡} {(𝑟)}^{2} = 1 - \frac{2 𝑚}{𝑟}$

Schwarzschild-metric-approximate-to-Newton-gravity_(tag)

为了逼近 non-relativity, 恢复一些常量 $𝐺, 𝑐, 𝑥_{0} = 𝑐 𝑡$ . 此时 Schwarzschild-metric

𝑔 = (1 - \frac{2 𝐺 𝑀}{𝑐^{2} 𝑟}) 𝑐^{2} 𝑑 𝑡^{2} - ({(1 - \frac{2 𝐺 𝑀}{𝑐^{2} 𝑟})}^{- 1} 𝑑 𝑟^{2} + 𝑟^{2} 𝑔_{𝕊^{2}})

在时间坐标, 对这个 metric, 从相对论点粒子作用量近似到非相对论

\begin{matrix} 𝑚 𝑐 | \dot{𝑥} | & = & 𝑚 𝑐^{2} {(1 - \frac{2 𝐺 𝑀}{𝑐^{2} 𝑟} - \frac{1}{𝑐^{2}} ({(1 - \frac{2 𝐺 𝑀}{𝑐^{2} 𝑟})}^{- 1} 𝑣_{𝑟}^{2} + 𝑟^{2} 𝑣_{𝕊^{2}}^{2}))}^{\frac{1}{2}} \\ = & 𝑚 𝑐^{2} (1 - \frac{1}{2} (\frac{2 𝐺 𝑀}{𝑐^{2} 𝑟} + \frac{1}{𝑐^{2}} (𝑣_{𝑟}^{2} + 𝑟^{2} 𝑣_{𝕊^{2}}^{2})) + 𝑜 (\frac{1}{𝑐^{2}})) \\ = & 𝑚 𝑐^{2} - (\frac{1}{2} 𝑚 𝑣^{2} - (- \frac{𝐺 𝑀 𝑚}{𝑟})) + 𝑜 (1) \end{matrix}

$𝑚 𝑐^{2}$ 是静能量, 将会变分到 $0$
$\frac{1}{2} 𝑚 𝑣^{2}$ 是非相对论点粒子的动能
$- \frac{𝐺 𝑀 𝑚}{𝑟}$ 是非相对论引力势能
$𝑜 (1)$ 在极限 $lim_{𝑐 \to \infty}$ 时消失

Question 如果引力源是 $𝑇 = constant$ 或者 $𝑇_{00} = constant$ , 则 metric 是什么?

一些 Einstein-metric 例子

#link(<constant-sectional-curvature-imply-Einstein-metric>)[常值截面曲率]
#link(<simple-symmetric-space>)[]

Einstein ==> harmonics. Einstein-equation satisfy eq defined by Lagrangian $| 𝑅 |^{2} 𝑑 Vol$