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  50. 39. point-particle-relativity
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  61. 50. Einstein-metric
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  71. 逻辑
  72. 57. 逻辑
  73. 58. 集合论
  74. 59. 映射
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  115. 94. 相对论点粒子
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  117. 96. 纯量场的守恒流
  118. 97. 非相对论纯量场
  119. 98. 光锥射影
  120. 99. 时空动量的自旋表示
  121. 100. Lorentz 群
  122. 101. 旋量场
  123. 102. 旋量场的守恒流
  124. 103. 电磁场
  125. 104. 张量场的 Laplacian
  126. 105. Einstein 度规
  127. 106. 相互作用
  128. 107. 谐振子量子化
  129. 108. 旋量场杂项
  130. 109. 参考

note-math

cf. curvature-of-metric.typ

在有限维应, 某个非退化 signature 的对称双线性型的空间 是对称双线性型的空间 的子流形, 其切空间可以嵌入到 , 作为 处的切向量的记号

在流形 , 某个非退化 signature metric 的空间 是对称双线性型场的空间 的子流形, 其切空间可以嵌入到 , 作为 处的切向量的记号

[Einstein-Lagrangian] := . 在坐标中

Question 纯量曲率用于作用量, 有什么好的解释吗?

作用量包含 的二阶微分, 所以不能用一般的一阶微分 action 理论

scalar-curvature 不是 homology-scalar-curvature, 后者的积分 (比例于 ?) is homology invariant, 故总是变分到零, have trivial eq

Prop 对 的变分

所以 product rule 给出

Prop Einstein-Lagrangian 中

Proof

Prop 的微分是

Proof

and . 所以

所以 volume form 的变分是

将 作为矩阵, 则 adjoint 可以写为

Prop 的微分是 . Proof 使用

所以 scalar-curvature 的变分是

对以下进行繁琐的计算 (ref-24, p.62–64)

这可能对计算是有用的 and

是散度量 (cf. Laplacian-of-tensor-field.typ for )

==>

令作用量的变分是零

forall , 所以

[Einstein-equation] [Einstein-metric]

等价于 (by taking )

with

i.e. 常值比例于 且 scalar-curvature 是常数

等价地

i.e. trace-free Ricci-curvature 是零, 且 scalar-curvature 是常数

Einstein-equation 是 的二阶非线性 PDE

when , with

存在相互作用时, 尽管 , 仍然有散度是零

Proof

不需要是 Einstein-metric

δ diffeomorphism 会生成 metric 的一阶无穷小量

因为 Einstein 作用量是微分同胚不变的, 所以 δ diffeomorphism 变分的结果是零

forall , 所以

这将会给出

Prop 对于 Einstein 作用量, δ-isometry 的能动张量将会是零

moduli-space-of-Einstein-metric := diffeomorphism 作用于 metric 空间的 orbit 空间, 限制在 Einstein-metric space. isotropy-group is isometry

Question 即使我们知道每个流形的所有 Einstein-metric, 也仍然不知道应该选择哪个流形

Question constant-sectional-curvature or simple-symmetric-space 的流形分类似乎是令人满意的

当 dimension 存在流形不允许 constant-sectional-curvature metric 但允许 Einstein-metric

[Schwarzschild-metric] in := 渐进平直静态球对称, 作为 non-relativity gravity in 的最简单推广. 在空间 使用球坐标

with and . 从而只有 conformal curvature

推广到 ?

[Schwarzschild-metric-derivation] (ref-9, ch.4)

假设 metric 球对称

点粒子引力源 i.e. 点粒子之外 Einstein 方程 with 给出

渐进平坦 i.e. 逼近 metric when , 给出 , 然后 Einstein 方程给出

[Schwarzschild-metric-approximate-to-Newton-gravity]

为了逼近 non-relativity, 恢复一些常量 . 此时 Schwarzschild-metric

在时间坐标, 对这个 metric, 从相对论点粒子作用量近似到非相对论

  • 是静能量, 将会变分到
  • 是非相对论点粒子的动能
  • 是非相对论引力势能
  • 在极限 时消失

Question 如果引力源是 或者 , 则 metric 是什么?

一些 Einstein-metric 例子

  • 常值截面曲率
  • simple-symmetric-space

Einstein ==> harmonics. Einstein-equation satisfy eq defined by Lagrangian