1. notice
  3. 中文
  4. 1. feature
  6. 逻辑
  7. 2. 逻辑
  8. 3. 集合论
  9. 4. 映射
  10. 5. 序
  11. 6. 组合
  13. 微积分
  14. 7. 实数
  15. 8. 数列极限
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean 空间
  18. 11. Minkowski 空间
  19. 12. 多项式
  20. 13. 解析 (Euclidean)
  21. 14. 解析 (Minkowski)
  22. 15. 解析 struct 的操作
  23. 16. 常微分方程
  24. 17. 体积
  25. 18. 积分
  26. 19. 散度
  27. 20. 网极限
  28. 21. 紧致
  29. 22. 连通
  30. 23. 拓扑 struct 的操作
  31. 24. 指数函数
  32. 25. 角度
  34. 几何
  35. 26. 流形
  36. 27. 度规
  37. 28. 度规的联络
  38. 29. Levi-Civita 导数
  39. 30. 度规的曲率
  40. 31. Einstein 度规
  41. 32. 常截面曲率
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. 主丛
  44. 35. 群作用
  45. 36. 球极投影
  46. 37. Hopf 丛
  48. 场论
  49. 38. 非相对论点粒子
  50. 39. 相对论点粒子
  51. 40. 纯量场
  52. 41. 纯量场的守恒流
  53. 42. 非相对论纯量场
  54. 43. 光锥射影
  55. 44. 时空动量的自旋表示
  56. 45. Lorentz 群
  57. 46. 旋量场
  58. 47. 旋量场的守恒流
  59. 48. 电磁场
  60. 49. 张量场的 Laplacian
  61. 50. Einstein 度规
  62. 51. 相互作用
  63. 52. 谐振子量子化
  64. 53. 旋量场杂项
  65. 54. 参考
  67. English
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. logic-topic
  72. 57. logic
  73. 58. set-theory
  74. 59. map
  75. 60. order
  76. 61. combinatorics
  78. calculus
  79. 62. real-numbers
  80. 63. limit-sequence
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  115. 94. point-particle-relativity
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  117. 96. scalar-field-current
  118. 97. scalar-field-non-relativity
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  123. 102. spinor-field-current
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  129. 108. spinor-field-misc
  130. 109. reference

note-math

cf. curvature-of-metric.typ

在有限维应, 某个非退化 signature 的对称双线性型的空间 是对称双线性型的空间 的子流形, 其切空间可以嵌入到 , 作为 处的切向量的记号

在流形 , 某个非退化 signature metric 的空间 是对称双线性型场的空间 的子流形, 其切空间可以嵌入到 , 作为 处的切向量的记号

[Einstein-Lagrangian] := . 在坐标中

Question 纯量曲率用于作用量, 有什么好的解释吗?

作用量包含 的二阶微分, 所以不能用一般的一阶微分 action 理论

scalar-curvature 不是 homology-scalar-curvature, 后者的积分 (比例于 ?) is homology invariant, 故总是变分到零, have trivial eq

Prop 对 的变分

所以 product rule 给出

Prop Einstein-Lagrangian 中

Proof

Prop 的微分是

Proof

and . 所以

所以 volume form 的变分是

将 作为矩阵, 则 adjoint 可以写为

Prop 的微分是 . Proof 使用

所以 scalar-curvature 的变分是

对以下进行繁琐的计算 (ref-24, p.62–64)

这可能对计算是有用的 and

是散度量 (cf. Laplacian-of-tensor-field.typ for )

==>

令作用量的变分是零

forall , 所以

[Einstein-equation] [Einstein-metric]

等价于 (by taking )

with

i.e. 常值比例于 且 scalar-curvature 是常数

等价地

i.e. trace-free Ricci-curvature 是零, 且 scalar-curvature 是常数

Einstein-equation 是 的二阶非线性 PDE

when , with

存在相互作用时, 尽管 , 仍然有散度是零

Proof

不需要是 Einstein-metric

δ diffeomorphism 会生成 metric 的一阶无穷小量

因为 Einstein 作用量是微分同胚不变的, 所以 δ diffeomorphism 变分的结果是零

forall , 所以

这将会给出

Prop 对于 Einstein 作用量, δ-isometry 的能动张量将会是零

moduli-space-of-Einstein-metric := diffeomorphism 作用于 metric 空间的 orbit 空间, 限制在 Einstein-metric space. isotropy-group is isometry

Question 即使我们知道每个流形的所有 Einstein-metric, 也仍然不知道应该选择哪个流形

Question constant-sectional-curvature or simple-symmetric-space 的流形分类似乎是令人满意的

当 dimension 存在流形不允许 constant-sectional-curvature metric 但允许 Einstein-metric

[Schwarzschild-metric] in := 渐进平直静态球对称, 作为 non-relativity gravity in 的最简单推广. 在空间 使用球坐标

with and . 从而只有 conformal curvature

推广到 ?

[Schwarzschild-metric-derivation] (ref-9, ch.4)

假设 metric 球对称

点粒子引力源 i.e. 点粒子之外 Einstein 方程 with 给出

渐进平坦 i.e. 逼近 metric when , 给出 , 然后 Einstein 方程给出

[Schwarzschild-metric-approximate-to-Newton-gravity]

为了逼近 non-relativity, 恢复一些常量 . 此时 Schwarzschild-metric

在时间坐标, 对这个 metric, 从相对论点粒子作用量近似到非相对论

  • 是静能量, 将会变分到
  • 是非相对论点粒子的动能
  • 是非相对论引力势能
  • 在极限 时消失

Question 如果引力源是 或者 , 则 metric 是什么?

一些 Einstein-metric 例子

  • 常值截面曲率
  • simple-symmetric-space

Einstein ==> harmonics. Einstein-equation satisfy eq defined by Lagrangian