note-math

projective-cone_(tag) (图)

$Cone (𝑝, 𝑞) ≔ {𝑥 \in ℝ^{𝑝, 𝑞} : 𝑔 (𝑥, 𝑥) = 0}$
$Cone- ℙ (𝑝, 𝑞) ≔ {[𝑥] \in {ℝ ℙ}^{𝑝 + 𝑞} : 𝑥 \in Cone (𝑝, 𝑞)}$

可以等价地理解为 positive-cone & positive quotient

Cone- ℙ (𝑝, 𝑞) ≃ {[𝜆 𝑥] : 𝑔 (𝑥, 𝑥) = 0 \land 𝜆 > 0}

由于 metric 在光锥上是零, 很多分析不能做. 而且光锥上的射线进行 quotient, 也对应 #link(<metric-cannot-distinguish-colinear-light-like>)[metric 完全不能区分共线的类光]

$SO (𝑝, 𝑞)$ 导出 $Cone- ℙ (𝑝, 𝑞)$ 的双射

Proof $Cone- ℙ \subset ℝ ℙ, SO \subset GL$ , $GL$ 导出一维子空间集的双射

identity $𝟙 \in GL$ induce $𝟙 \in ℝ ℙ$

complex-struct-of-4d-projective-lightcone_(tag) 4d projective-lightcone 的复结构 (图)

椭圆型 $Cone- ℙ (1, 3) ≃ 𝕊^{2} ≃ {ℂ ℙ}^{1}$
双曲型 $Cone- ℙ (1, 3) ∖ Cone- ℙ (1, 2) ≃ {ℍ 𝕪}^{2}$
双曲型的情况有分离的两枝. 从未来光锥截面到过去光锥截面之间存在奇点区域 $Cone- ℙ (1, 2)$
是否有 ${ℂ ℙ}^{1}$ 类似物? 但是 ${ℍ 𝕪}^{2}$ 是 Euclidean 型流形, 不适合分裂复数 $ℂ_{split}$ 的 $1, 1$ signature, 而且 #link(<stereographic-projective-hyperbolic>)[双曲球极投影] 似乎挺复杂的
既然光锥能截出 $𝕊^{2}$ , 那么失去 ${ℍ 𝕪}^{2} = ℚ^{1, 2} (1)$ 对应 $ℚ^{1, 2} (- 1)$ 的那种对称性是合理的

Proof

$Cone- ℙ (1, 3) ≃ 𝕊^{2}$

使用 $𝑥_{0} = 1$ 截取 lightcone $Cone (1, 3) = {𝑥_{0}^{2} - (𝑥_{1}^{2} + 𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2}) = 0}$ , 得到类空截面 $𝕊^{2} = {𝑥_{1}^{2} + 𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2} = 1}$

$1$ 可以替换为其它非零实数, 结果等价

$Cone- ℙ (1, 3) ∖ Cone- ℙ (1, 2) ≃ {ℍ 𝕪}^{2}$

使用 $𝑥_{1} = 1$ 截取 lightcone, 得到 ${ℍ 𝕪}^{2} = {𝑥_{0}^{2} - (𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2}) = 1}$ . 分为未来和过去两枝

$Cone (1, 2) = {𝑥_{0}^{2} - (𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2}) = 0}$ 的射影无法被 $𝑥_{1} = 1$ 截到

$𝕊^{2} ≃ {ℂ ℙ}^{1}$

#link(<stereographic-projection>)[球极投影] transition-function 是二次型反演

\begin{matrix} ℝ^{𝑛 - 1} & ⟶ & ℝ^{𝑛 - 1} \\ 𝜉 & ⟿ & \frac{1 \pm 𝑥_{1}}{1 \mp 𝑥_{1}} 𝜉 = \frac{𝜉}{| 𝜉 |^{2}} \end{matrix}

${ℂ ℙ}^{1} = {𝜆 (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) : (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) \in ℂ^{2}}$ and its coordinate

coordinate 1 ${𝜆 (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) \in ℂ^{2} : 𝑤 \neq 0}$ , coordinate map $(\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) ⇝ \frac{𝑧}{𝑤} \in ℂ$

coordinate 2 ${𝜆 (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) \in ℂ^{2} : 𝑧 \neq 0}$ , coordinate map $(\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) ⇝ \frac{𝑤}{𝑧} \in ℂ$

transition-function $\frac{𝑧}{𝑤} ⇝ \frac{𝑤}{𝑧} = {(\frac{𝑧}{𝑤})}^{- 1}$ , or $𝜉 ⇝ \frac{1}{𝜉} = \frac{𝜉^{*}}{| 𝜉 |^{2}}$ , i.e. $ℂ$ 的乘法逆. ${ℂ ℙ}^{1}$ 是 complex manifold

vs $𝕊^{2}$ 球极投影 transition-function $𝜉 ⇝ \frac{1}{𝜉^{*}} = \frac{𝜉}{| 𝜉 |^{2}}$

更直接的 ${ℂ ℙ}^{1} \to 𝕊^{2}$ 坐标之间的映射, cf. #link(<Hopf-bundle>)[]

linear-fractional_(tag)

$GL (2, ℂ)$ 作用在 $ℂ^{2}$ , $(\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) ⇝ (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & 𝑑 \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑤 \\ 𝑐 𝑧 + 𝑑 𝑤 \end{matrix})$ , 使用 $ℂ$ 乘法逆将其限制于 ${ℂ ℙ}^{1}$ , in coordinate 1 ${𝜆 (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) \in ℂ^{2} : 𝑤 \neq 0}$

\begin{matrix} {ℂ ℙ}^{1}, ⟶, {ℂ ℙ}^{1} \\ \frac{𝑧}{𝑤}, ⟿, \frac{𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑤}{𝑐 𝑧 + 𝑑 𝑤} = \frac{𝑎 \frac{𝑧}{𝑤} + 𝑏}{𝑐 \frac{𝑧}{𝑤} + 𝑑} \end{matrix}

in coordinate 2 ${𝜆 (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) \in ℂ^{2} : 𝑧 \neq 0}$

\begin{matrix} {ℂ ℙ}^{1}, ⟶, {ℂ ℙ}^{1} \\ \frac{𝑤}{𝑧}, ⟿, \frac{𝑐 𝑧 + 𝑑 𝑤}{𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑤} = \frac{𝑐 + 𝑑 \frac{𝑤}{𝑧}}{𝑎 + 𝑏 \frac{𝑤}{𝑧}} \end{matrix}

$(\begin{matrix} 𝑑 & 𝑐 \\ 𝑏 & 𝑎 \end{matrix})$ 带有相同的 $det$

$𝕆$ 需要另作处理, $Lin (2, 𝕆)$ 复合不能表示为通常的矩阵乘法

伸缩 $𝜆 \in ℂ ∖ 0, 𝜆 (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & 𝑑 \end{matrix})$ 给出相同的 linear-fractional, 所以 $GL (2, ℂ)$ 可以 quotient 到 $SL (2, ℂ)$ or $\frac{SL (2, ℂ)}{ℤ_{2}}$

Prop (ref-13, p.172–174)

$SO (1, 3)$ 作用于 ${ℂ ℙ}^{1}$ in coordinate 可以表示为 $SL (2, ℂ)$ #link(<linear-fractional>)[]
$\frac{SL (2, ℂ)}{ℤ_{2}} = SO (1, 3)$ Lorentz-group-spinor-representation_(tag)

Proof

in $ℝ^{1, 3}$ , 3 rotation $exp (𝜃_{𝑖} i)$ , 3 boost $exph (𝜑_{𝑖} i_{split})$ , where $𝜃_{𝑖}$ is rotation in $𝑥_{𝑖}$ direction, $𝜑_{𝑖}$ is boost in $𝑥_{𝑖}$ direction

rotation-boost-spinor-representation_(tag)

3 rotation 3 boost 作用在射影光锥的 $𝑥_{0} = 1$ 截出来的 $𝕊^{2}$ , 计算其在 (其中一个) 球极投影坐标 $ℝ^{2} ≃ ℂ$ 的表示

rotation in $𝑥_{1}$

$𝑒^{𝜃 i}$ act on $𝑥_{2} + 𝑥_{3} i \in ℂ ≃ ℝ^{2}$
$𝐴 = (\begin{matrix} 𝑒^{\frac{1}{2} 𝜃 i} \\ 𝑒^{- \frac{1}{2} 𝜃 i} \end{matrix})$ act on $ℂ^{2}$ , 生成元 $\frac{1}{2} i (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \in su (2)$ (with eigenvalue $\pm \frac{1}{2} i$ and eigenstate $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ as base of $ℂ^{2}$ )

boost in $𝑥_{1}$

$𝑒^{𝜑 i_{split}}$ act on $𝑥_{0} + 𝑥_{1} i_{split} \in ℂ_{split} ≃ ℝ^{1, 1}$
$𝐴 = (\begin{matrix} 𝑒^{\frac{1}{2} 𝜑} \\ 𝑎^{- \frac{1}{2}} \end{matrix})$ act on $ℂ^{2}$ , 生成元 $\frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \in i su (2)$

因为选择了 $𝑥_{1}$ 方向来构造球极投影, $𝑥_{2}, 𝑥_{3}$ 方向的情况会更复杂一些 (以下我没有进行计算检验)

rotation in $𝑥_{2}$

$(\begin{matrix} cos \frac{1}{2} 𝜃 & i sin \frac{1}{2} 𝜃 \\ i sin \frac{1}{2} 𝜃 & cos \frac{1}{2} 𝜃 \end{matrix})$ act on $ℂ^{2}$ , 生成元 $\frac{1}{2} i (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \in su (2)$
rotation in $𝑥_{3}$

$(\begin{matrix} cos \frac{1}{2} 𝜃 & - sin \frac{1}{2} 𝜃 \\ sin \frac{1}{2} 𝜃 & cos \frac{1}{2} 𝜃 \end{matrix})$ act on $ℂ^{2}$ , 生成元 $\frac{1}{2} (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \in su (2)$
boost in $𝑥_{2}$

$(\begin{matrix} cosh \frac{1}{2} 𝜃 & sinh \frac{1}{2} 𝜃 \\ sinh \frac{1}{2} 𝜃 & cosh \frac{1}{2} 𝜃 \end{matrix})$ act on $ℂ^{2}$ , 生成元 $\frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \in i su (2)$
boost in $𝑥_{3}$

$(\begin{matrix} cosh \frac{1}{2} 𝜃 & - i sinh \frac{1}{2} 𝜃 \\ i sinh \frac{1}{2} 𝜃 & cosh \frac{1}{2} 𝜃 \end{matrix})$ act on $ℂ^{2}$ , 生成元 $\frac{1}{2} i (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \in i su (2)$

可见 $sl (2, ℂ) = su (2) + i su (2)$

比较 $exp$ of $sl (2, ℂ)$ 和 $exp$ of $so (1, 3)$ , 至少局部地同构 $SL (2, ℂ) \leftrightarrow SO (1, 3)$

for $(\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & - 𝑎 \end{matrix}) \in sl (2, ℂ)$
$exp (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & - 𝑎 \end{matrix}) = cosh 𝜔 𝟙 + \frac{sinh 𝜔}{𝜔} (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & - 𝑎 \end{matrix})$
where $𝜔^{2} = - det (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & - 𝑎 \end{matrix})$
$so (1, 3)$ have form $(\begin{matrix} 0 & 𝑏^{⊺} \\ 𝑏 & 𝑟 \end{matrix})$ where $𝑟 \in so (3), 𝑏 \in ℝ^{3}$ (ref-2, Vol.1, p.180)
from $SO (1, 3)$ to $SL (2, ℂ)$ . 从后面的 $SL (2, ℂ)$ to $SO (1, 3)$ 中反解出来. 或者用 $SO (1, 3)$ #link(<polar-decomposition-of-Lorentz-group>)[Polar decomposition] to rotation boost + #link(<Euler-angle-Lorentz-group>)[Euler 角]
from $𝐴 = (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & 𝑑 \end{matrix}) \in SL (2, ℂ)$ to $Λ \in SO (1, 3)$ , where $𝑎 𝑑 - 𝑏 𝑐 = 1$

使用 #link(<spacetime-momentum-spinor-representation>)[] 直接计算 $𝐴 𝑝_{spin} 𝐴^{†} \in ℝ^{1, 3}$

\begin{matrix} Λ_{𝜈}^{𝜇} = \frac{1}{2} tr (𝜎_{𝜇} 𝐴 𝜎_{𝜈} 𝐴^{†}) = \frac{1}{2} tr (𝐴 𝜎_{𝜈} 𝐴^{†} 𝜎_{𝜇}) = \\ \begin{matrix} | 𝑎 |^{2} + | 𝑏 |^{2} + | 𝑐 |^{2} + | 𝑑 |^{2} & 2 Re (𝑎 𝑏^{*} + 𝑐 𝑑^{*}) & 2 Im (𝑎 𝑏^{*} + 𝑐 𝑑^{*}) & | 𝑎 |^{2} - | 𝑏 |^{2} + | 𝑐^{2} | - | 𝑑 |^{2} \\ 2 Re (𝑎 𝑐^{*} + 𝑏 𝑑^{*}) & 2 Re (𝑎 𝑑^{*} + 𝑏 𝑐^{*}) & 2 Im (𝑎 𝑑^{*} + 𝑏 𝑐^{*}) & 2 Re (𝑎 𝑐^{*} - 𝑏 𝑑^{*}) \\ - 2 Im (𝑎 𝑐^{*} + 𝑏 𝑑^{*}) & - 2 Im (𝑎 𝑑^{*} + 𝑏 𝑐^{*}) & 2 Re (𝑎 𝑑^{*} - 𝑏 𝑐^{*}) & - 2 Im (𝑎 𝑐^{*} - 𝑏 𝑑^{*}) \\ | 𝑎 |^{2} + | 𝑏 |^{2} - | 𝑐 |^{2} - | 𝑑 |^{2} & 2 Re (𝑎 𝑏^{*} - 𝑐 𝑑^{*}) & 2 Im (𝑎 𝑏^{*} - 𝑐 𝑑^{*}) & | 𝑎 |^{2} - | 𝑏 |^{2} - | 𝑐 |^{2} + | 𝑑 |^{2} \end{matrix} \end{matrix}

$ℂ^{2}, {ℂ ℙ}^{1}$ 使用 Euclidean type topology, 因为 $𝕊^{2}$ metric 继承自 space-like ${𝑥_{0} = 1} ≃ ℝ^{3} \subset ℝ^{1, 3}$ 继承自 $ℝ^{1, 3}$ metric

$SO (1, 3)$ 是 ${ℂ ℙ}^{1} ≃ 𝕊^{2}$ conformal 变换群, 在球极投影坐标中表示为 linear-fractional

为计算 metric 的 conformal 变换因子, use ${ℂ ℙ}^{1}$ coordinate and 3 rotation, 3 boost …

isotropy-on-projective-lightcone_(tag) Prop $SL (2, ℂ)$ 作用在 projective-lightcone ${ℂ ℙ}^{1}$ , #link(<isotropy>)[] 类似于 $GL (1, ℂ) ⋊ ℂ$

$GL (2, ℂ), SL (2, ℂ)$ 是 #link(<action-surjective>)[满射作用], orbit 数 $1$ , 所以计算 isotropy #link(<isotropy-in-same-orbit-is-isom>)[只需要考虑] 一点

使用点 $𝑧 = 1, 𝑤 = 0 \in ℂ^{2}$ , 在坐标 ${𝜆 (\begin{matrix} 𝑧 \\ 𝑤 \end{matrix}) \in ℂ^{2} : 𝑧 \neq 0}$ , $\frac{𝑤}{𝑧} = 0$ , 对应光锥射影上的点 $(1, 1, 0, 0) \in ℝ^{1, 3}$

$(\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑐 & 𝑑 \end{matrix})$ is isotropy $\frac{𝑐 𝑧 + 𝑑 𝑤}{𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑤} = 0$ ==> $𝑐 = 0$

所以 Isotropy

(\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑎^{- 1} \end{matrix})

类似于 $GL (1, ℂ) ⋊ ℂ$ 是因为

\begin{matrix} (\begin{matrix} 𝑎 & 0 \\ 𝑎^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 𝑏 \\ 1 \end{matrix}) {(\begin{matrix} 𝑎 & 0 \\ 𝑎^{- 1} \end{matrix})}^{†} & = & (\begin{matrix} 1 & 𝑎^{2} 𝑏 \\ 1 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 1 & 𝑏 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 𝑏^{'} \\ 1 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 1 & 𝑏 + 𝑏^{'} \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

the group multiplication is

(\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑎^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑎^{'} & 𝑏^{'} \\ 𝑎^{' - 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝑎 𝑎^{'} & 𝑎 𝑏^{'} + 𝑎^{' - 1} 𝑏 \\ {(𝑎 𝑎^{'})}^{- 1} \end{matrix}))

使用对应 $𝑎 \to 𝑎^{\frac{1}{2}}, 𝑏 \to 𝑏 𝑎^{- \frac{1}{2}}$ i.e. $(𝑎, 𝑏) \to (\begin{matrix} 𝑎^{\frac{1}{2}} & 𝑏 𝑎^{- \frac{1}{2}} \\ 𝑎^{- \frac{1}{2}} \end{matrix})$ 将会给出通常的 semi-direct product $U (1) ⋊ ℂ$ , i.e. $(𝑎, 𝑏) (𝑎^{'}, 𝑏^{'}) = (𝑎^{'} 𝑎, 𝑏^{'} + 𝑏 𝑎^{'})$