[projective-cone] (图)
可以等价地理解为 positive-cone & positive quotient
由于 metric 在光锥上是零, 很多分析不能做. 而且光锥上的射线进行 quotient, 也对应 metric 完全不能区分共线的类光
导出 的双射
Proof , 导出一维子空间集的双射
identity induce
[complex-struct-of-4d-projective-lightcone] 4d projective-lightcone 的复结构 (图)
- 椭圆型
- 双曲型
双曲型的情况有分离的两枝. 从未来光锥截面到过去光锥截面之间存在奇点区域
是否有 类似物? 但是 是 Euclidean 型流形, 不适合分裂复数 的 signature, 而且 双曲球极投影 似乎挺复杂的
既然光锥能截出 , 那么失去 对应 的那种对称性是合理的
Proof
使用 截取 lightcone , 得到类空截面
可以替换为其它非零实数, 结果等价
使用 截取 lightcone, 得到 . 分为未来和过去两枝
的射影无法被 截到
球极投影 transition-function 是二次型反演
and its coordinate
coordinate 1 , coordinate map
coordinate 2 , coordinate map
transition-function , or , i.e. 的乘法逆. 是 complex manifold
vs 球极投影 transition-function
更直接的 坐标之间的映射, cf. Hopf-bundle
[linear-fractional]
作用在 , , 使用 乘法逆将其限制于 , in coordinate 1
in coordinate 2
带有相同的
需要另作处理, 复合不能表示为通常的矩阵乘法
伸缩 给出相同的 linear-fractional, 所以 可以 quotient 到 or
Prop (ref-13, p.172–174)
-
作用于 in coordinate 可以表示为 linear-fractional
-
[Lorentz-group-spinor-representation]
Proof
in , 3 rotation , 3 boost , where is rotation in direction, is boost in direction
[rotation-boost-spinor-representation]
3 rotation 3 boost 作用在射影光锥的 截出来的 , 计算其在 (其中一个) 球极投影坐标 的表示
- rotation in
- act on
- act on , 生成元 (with eigenvalue and eigenstate as base of )
- boost in
- act on
- act on , 生成元
因为选择了 方向来构造球极投影, 方向的情况会更复杂一些 (以下我没有进行计算检验)
-
rotation in
act on , 生成元
-
rotation in
act on , 生成元
-
boost in
act on , 生成元
-
boost in
act on , 生成元
可以证明 , 可以证明
比较 of 和 of , 至少局部地同构
-
for
where
-
have form where (ref-2, Vol.1, p.180)
-
from to . 从后面的 to 中反解出来. 或者用 Polar decomposition to rotation boost + Euler 角
-
from to , where
使用 Euclidean type topology, 因为 metric 继承自 space-like 继承自 metric
是 conformal 变换群, 在球极投影坐标中表示为 linear-fractional
为计算 metric 的 conformal 变换因子, use coordinate and 3 rotation, 3 boost …
[isotropy-on-projective-lightcone] Prop 作用在 projective-lightcone , isotropy 类似于