note-math

topology-subspace_(tag)

子拓扑 := let $𝑆 \subset 𝑋$ . 继承 #link(<topology>)[点网系统] $T_{𝑆} = {𝑆 \cap 𝐵 : 𝐵 \in T_{𝑋}}$

等价地定义, 子拓扑是使得嵌入映射 $𝑆 ↪ 𝑋$ 连续的最小拓扑

子拓扑的继承性. $𝑆^{'} \subset 𝑆$ 是 $T_{𝑆}$ 子拓扑 <==> $𝑆^{'} \subset 𝑋$ 是 $T_{𝑋}$ 子拓扑

Proof 根据 $\cap$ 的结合性 + $𝑆^{'} \subset 𝑆 ⟺ 𝑆^{'} \cap 𝑆 = 𝑆^{'}$

closed-in-subspace_(tag) #link(<closed>)[] in subspace 的刻画

$𝑆^{'} \subset 𝑆 ⟹ closed (𝑆^{'}, T_{𝑆}) = 𝑆 \cap closed (𝑆^{'}, T_{𝑋})$

Example $closed ((0, 1], T_{(0, 1]}) = (0, 1] \neq [0, 1] = closed ((0, 1], T_{ℝ})$

说明 $closed (𝑆^{'}, T_{𝑋})$ 可能存在 #link(<limit-point>)[极限点] $\notin 𝑆$ or $\in closed (𝑆, T_{𝑋}) ∖ 𝑆$ 但 $closed (𝑆^{'}, T_{𝑆})$ 极限点只能 $\in 𝑆$

$𝑆$ 是闭集

quotient-topology_(tag)

T_{\frac{𝑋}{\sim}}

:= 使得商映射

𝑋 ↠ \frac{𝑋}{\sim}

连续的最大拓扑, 即

𝐵 \in T_{\frac{𝑋}{\sim}} ⟺ 𝑓^{- 1} (𝐵) \in T_{𝑋}

product-topology_(tag)

$T_{\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}}$ := 所有分量映射 $𝑓_{𝑖} : \prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖} \to 𝑋$ 连续的最小拓扑 i.e. 以集族

{𝑓_{𝑖}^{- 1} (𝐵) : \exists 𝑖 \in 𝐼, \exists 𝐵 \in T_{𝑖}}

为的有限交集生成点网系统

𝑓_{𝑖_{1}}^{- 1} (𝐵_{𝑖_{1}}) \cap \dots \cap 𝑓_{𝑖_{𝑛}}^{- 1} (𝐵_{𝑖_{𝑛}})

因为 $𝑓_{𝑖}$ 是分量映射

\forall 𝐴_{𝑗} \in Subset (𝑋_{𝑗}), 𝑓_{𝑖} (𝑓_{𝑖}^{- 1} (𝐴_{𝑖})) = {\begin{matrix} 𝐴_{𝑖} if 𝑖 = 𝑗 \\ 𝑋_{𝑖} if 𝑖 \neq 𝑗 \end{matrix}

闭集的 product 也是闭集. by 极限点定义和 and 逻辑

$𝑓_{𝑖}$ image 不一定传递闭集. Example 闭集 ${(𝑥, 𝑦) \in ℝ^{2} : 𝑥 𝑦 = 1}$ 映射到 $𝑥$ 轴得到非闭集 $ℝ ∖ 0$

sum-topology_(tag)

$⨆_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 的拓扑是使得嵌入 $𝑋_{𝑖} ↪ ⨆_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 连续的最大拓扑

所有 $𝑖$ 的 $𝑋_{𝑖}$ 的点网系统 $T_{𝑖}$ 在 sum 空间的 copy 组成了 sum 空间的点网系统, 其中的集合的形式是 $⨆_{𝑖 \in 𝐼} 𝐵_{𝑖}$