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note-math

对于 Schrodinger eq, 谐振子 potential

算出所有 δ action Lie bracket

这种交换关系部分地类似 复化特征值化技术 (ref-13, p.20–30) (角动量算子的处理中将会用到)

复化来得到 的特征算子, 得到 [ladder-operator]

这种交换关系说明 的有均匀间隔 的特征值

Question 尝试将这里的技术推广到 (如果可能的话) 经典谐振子

谐振子量子化的升降算子给出的 个 特征态的最低能量态 满足 [harmonic-oscillator-ground-state]

计算 算子的作用, 得到最低能量是

高阶的能量态 (归一化)

能量是

利用 可以将特征态写为

称为 Hermite 多项式

对于量子谐振子, 即使是静态波函数, 也有 种可能的特征能量

Warning 不要认为最低能量是非零的 就认为有凭空的能量, 因为静电氢原子的能量还能是负数

可以证明这个 特征态系列正交展开了

例如用 Fourier 变换的方法证明 展开了

假设正交 , 定义

Fourier 变换

在 的所有阶微分等于零

展开系数 的二次型解释为在 的概率. 能量期望是

升降算子除了使得 特征值有均匀间隔, 还满足 , 使得能对应到

  • metric 对称张量空间
  • 对称多项式空间

也满足

由于不是 , 所以不同态到 复化特征值化技术的情况

[Gaussian-integral]

对 成立. 含有稠密点, 符合解析延拓唯一性. 解析延拓到 . 但是注意 有二重分支

在 Euclidean 型 上用规范正交基对二次型 对角化

[why-pi-in-Gaussian-integral]

这可能给出了线索之于为什么阶乘的 Stirling 近似 会出现 .

谐振子 ODE 的特征多项式是 , 原型是 , 于是 和复数被引入, 于是有圆, 就有 . 联系于量子谐振子的基态. 为了简化讨论, 省略 . 一般的动量算子 其实会对应到相位改变 , 如果给动量算子加上 伸缩因子, 则动量算子可以对应到相位改变 . 此时, 基态可能也会变成 其中 含有 因子, 并且其 积分直接归一化, 而不需要加入 伸缩因子. 同理, 对于 Feynman 路径积分, 用这种方式就可能不再需要额外的归一化因子或者 Zeta function regularization

Stirling 近似的 的出现可能也是类似的, 应该问, 加上 伸缩因子之后的阶乘 (或者其倒数) 来自哪里, 例如, 来自球和球面的体积计算

另一个启示是, 谐振子的 Feynman 路径积分量子化 的 kernel 中出现的 对应到 阶乘函数 的性质 , 也出现了额外的 伸缩因子, 因此修改后的阶乘函数应该满足 ?

如果谐振子的解 使用固定起始位置 , 则

其中

作用量

其中

对于时间只依赖于差值

[path-integral-quantization]

cf. (ref-28, ch.path-integral-formalism)

propagator 表示用 Feynman 路径积分和 Lagrangian 来构造 unitary

对自由场

分解为经典路径和差距 ,

  • 边界是零

==>

现在

其中, 由于自由粒子的经典路径是直线

  • 边界是零

==>

现在

作为 Gaussian 积分的推广

  • 二次型
  • . 为简化记号, 用

==> 特征值 . 正交特征函数 . 正交特征函数的展开 or Fourier 展开

用 正交基进行对角化. 现在

使用 why-pi-in-Gaussian-integral 中的归一化, 无穷乘积的一部分变成 . 最终结果是

总的结果是

对于谐振子, 类似

用分部积分的方法

  • 二次型
  • . 为简化记号, 用

==> 特征值 . 正交特征函数 . 正交特征函数的展开 or Fourier 展开

用正交基进行对角化, 使用 Gaussian 积分的推广. 和自由场不同之处是, 出现新的无穷乘积 (cf. Euler-reflection-formula)

结果是

总的结果是

[eigen-decomposition]

给出的特征方程

特征规范正交基 给出的对 的分解

根据 wiki:Path_integral_formulation, 再让 进行 Taylor 展开, 其中 对应能级

关于场量子化

一种观点是路径积分式的场量子化

[field-path-integral-quantization] Question 既然谐振子可以路径积分 by 特征值对角化 & 推广 Gaussian 积分, 为什么类似谐振子 eq 的 KG eq (or Dirac eq) 不也进行 特征值对角化 & 推广 Gaussian 积分的路径积分?

另一种 (?) 观点是场算子式的场量子化

recall Klein--Gordon-equation 考虑平面波解

如果我们不管平面波的话, 即使可能损失精度, 我们得到 ODE

这是 值点粒子谐振子方程, 频率

然后点粒子谐振子可以量子化

recall linear-superposition-of-KG-eq KG 平面波在双曲面 上的 叠加

Question 将点粒子的量子谐振子同态到 KG 场的量子谐振子, 加上 系数限制 (Sobolev), 多重升降的系数限制对应着 对称张量, 整个空间是 (其中 是 谐振子量子化的空间)

Question 这种张量基于 模?

真空 是比零阶更低的东西

KG 场量子谐振子的能量算子还能表示为 KG 场算子 + KG 场的能量的形式, 即使这不是在计算 KG 场的能量 (微分的平面波展开后的场算子)

对于 Dirac 场的情况, 似乎不需要像 KG 场那样做, 因为已经存在 "一次" 量子化了, 只不过是有限维的, 一种表示来自 的两个特征值 Pauli-matrix (ref-18, p.305–308)

加上 parity 后, 是

recall linear-superposition-of-Dirac-eq 对 Dirac 平面波在 上进行 叠加

Question 将其同态到 Dirac 场的量子场, 加上 系数限制 (Sobolev), 多重升降的系数限制对应着 交错张量, 整个空间是

Question 这种张量基于 模?

真空 是比零阶更低的东西

Dirac 场量子场的能量算子还能表示为 Dirac 场算子 + Dirac 场的能量的形式, 即使这不是在计算 Dirac 场的能量