1. notice
  3. English
  4. 1. feature
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  7. 2. logic
  8. 3. set-theory
  9. 4. map
  10. 5. order
  11. 6. combinatorics
  13. calculus
  14. 7. real-numbers
  15. 8. limit-sequence
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean-space
  18. 11. Minkowski-space
  19. 12. polynomial
  20. 13. analytic-Euclidean
  21. 14. analytic-Minkowski
  22. 15. analytic-struct-operation
  23. 16. ordinary-differential-equation
  24. 17. volume
  25. 18. integral
  26. 19. divergence
  27. 20. limit-net
  28. 21. compact
  29. 22. connected
  30. 23. topology-struct-operation
  31. 24. exponential
  32. 25. angle
  34. geometry
  35. 26. manifold
  36. 27. metric
  37. 28. metric-connection
  38. 29. geodesic-derivative
  39. 30. curvature-of-metric
  40. 31. Einstein-metric
  41. 32. constant-sectional-curvature
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. principal-bundle
  44. 35. group-action
  45. 36. stereographic-projection
  46. 37. Hopf-bundle
  48. field-theory
  49. 38. point-particle-non-relativity
  50. 39. point-particle-relativity
  51. 40. scalar-field
  52. 41. scalar-field-current
  53. 42. scalar-field-non-relativity
  54. 43. projective-lightcone
  55. 44. spacetime-momentum-spinor-representation
  56. 45. Lorentz-group
  57. 46. spinor-field
  58. 47. spinor-field-current
  59. 48. electromagnetic-field
  60. 49. Laplacian-of-tensor-field
  61. 50. Einstein-metric
  62. 51. interaction
  63. 52. harmonic-oscillator-quantization
  64. 53. spinor-field-misc
  65. 54. reference
  67. 中文
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. 逻辑
  72. 57. 逻辑
  73. 58. 集合论
  74. 59. 映射
  75. 60. 序
  76. 61. 组合
  78. 微积分
  79. 62. 实数
  80. 63. 数列极限
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean 空间
  83. 66. Minkowski 空间
  84. 67. 多项式
  85. 68. 解析 (Euclidean)
  86. 69. 解析 (Minkowski)
  87. 70. 解析 struct 的操作
  88. 71. 常微分方程
  89. 72. 体积
  90. 73. 积分
  91. 74. 散度
  92. 75. 网极限
  93. 76. 紧致
  94. 77. 连通
  95. 78. 拓扑 struct 的操作
  96. 79. 指数函数
  97. 80. 角度
  99. 几何
  100. 81. 流形
  101. 82. 度规
  102. 83. 度规的联络
  103. 84. Levi-Civita 导数
  104. 85. 度规的曲率
  105. 86. Einstein 度规
  106. 87. 常截面曲率
  107. 88. simple-symmetric-space
  108. 89. 主丛
  109. 90. 群作用
  110. 91. 球极投影
  111. 92. Hopf 丛
  113. 场论
  114. 93. 非相对论点粒子
  115. 94. 相对论点粒子
  116. 95. 纯量场
  117. 96. 纯量场的守恒流
  118. 97. 非相对论纯量场
  119. 98. 光锥射影
  120. 99. 时空动量的自旋表示
  121. 100. Lorentz 群
  122. 101. 旋量场
  123. 102. 旋量场的守恒流
  124. 103. 电磁场
  125. 104. 张量场的 Laplacian
  126. 105. Einstein 度规
  127. 106. 相互作用
  128. 107. 谐振子量子化
  129. 108. 旋量场杂项
  130. 109. 参考

note-math

cf. metric.typ

[geodesic]

测地线作为可能的 "最小长度路径". 作用量

ODE 初值 . 测地线的定义不依赖于坐标选取

是 metric-volume-form 限制在 1 dimension path. 是 induced quadratic-form

Lagrange 方程是

对于路径的单位长度参数, , 方程变成

product-rule 展开 , where . 移项并使用 , 方程变成

或者写为

其中 是 [metric-connection] alias [Levi-Civita-connection] alias [Christoffel-symbols]

metric-connection 不是 tensor. metric-connection 的变换方式 [connection-transformations]

by 的定义中的 metric 的变换方式

[geodesic-exponential] …

[geodesic-coordinate]

测地线 or with 给出坐标

它是局部微分同胚 by at , by

  • ODE 的解解析地依赖于初值

在测地线坐标, 测地线方程是 . Proof 测地线是

在 点测地线坐标, 点联络是零,

Proof

ODE

初值 and

将 ODE 的解 代入 ODE 得到

从而在 点对所有方向 , ==> at

[Taylor-expansion-of-metric-in-geodesic-coordinate]

在测地线坐标, metric 的 Taylor 展开

  • 零阶项是标准 metric

  • 一阶项是零 i.e. 一阶微分是零

结合两者,

Proof

在 点测地线坐标

  • 0th. 对测地线坐标, 在 点 , 将测地线坐标里的原点的正交规范基 复制地映射到 点切空间 coordinate-frame

  • 1st.

[differenial-of-metric-vs-connection] Prop Proof 直接把 的 定义 代入式子

然后用 得到 点

在坐标中

也可以写为

对于逆矩阵, 有类似的

[differenial-of-metric-inverse-vs-connection] Prop

Proof 使用 以及

在坐标中

也可以写为