1. notice
  3. 中文
  4. 1. feature
  6. 逻辑
  7. 2. 逻辑
  8. 3. 集合论
  9. 4. 映射
  10. 5. 序
  11. 6. 组合
  13. 微积分
  14. 7. 实数
  15. 8. 数列极限
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean 空间
  18. 11. Minkowski 空间
  19. 12. 多项式
  20. 13. 解析 (Euclidean)
  21. 14. 解析 (Minkowski)
  22. 15. 解析 struct 的操作
  23. 16. 常微分方程
  24. 17. 体积
  25. 18. 积分
  26. 19. 散度
  27. 20. 网极限
  28. 21. 紧致
  29. 22. 连通
  30. 23. 拓扑 struct 的操作
  31. 24. 指数函数
  32. 25. 角度
  34. 几何
  35. 26. 流形
  36. 27. 度规
  37. 28. 度规的联络
  38. 29. Levi-Civita 导数
  39. 30. 度规的曲率
  40. 31. Einstein 度规
  41. 32. 常截面曲率
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. 主丛
  44. 35. 群作用
  45. 36. 球极投影
  46. 37. Hopf 丛
  48. 场论
  49. 38. 非相对论点粒子
  50. 39. 相对论点粒子
  51. 40. 纯量场
  52. 41. 纯量场的守恒流
  53. 42. 非相对论纯量场
  54. 43. 光锥射影
  55. 44. 时空动量的自旋表示
  56. 45. Lorentz 群
  57. 46. 旋量场
  58. 47. 旋量场的守恒流
  59. 48. 电磁场
  60. 49. 张量场的 Laplacian
  61. 50. Einstein 度规
  62. 51. 相互作用
  63. 52. 谐振子量子化
  64. 53. 旋量场杂项
  65. 54. 参考
  67. English
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. logic-topic
  72. 57. logic
  73. 58. set-theory
  74. 59. map
  75. 60. order
  76. 61. combinatorics
  78. calculus
  79. 62. real-numbers
  80. 63. limit-sequence
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean-space
  83. 66. Minkowski-space
  84. 67. polynomial
  85. 68. analytic-Euclidean
  86. 69. analytic-Minkowski
  87. 70. analytic-struct-operation
  88. 71. ordinary-differential-equation
  89. 72. volume
  90. 73. integral
  91. 74. divergence
  92. 75. limit-net
  93. 76. compact
  94. 77. connected
  95. 78. topology-struct-operation
  96. 79. exponential
  97. 80. angle
  99. geometry
  100. 81. manifold
  101. 82. metric
  102. 83. metric-connection
  103. 84. geodesic-derivative
  104. 85. curvature-of-metric
  105. 86. Einstein-metric
  106. 87. constant-sectional-curvature
  107. 88. simple-symmetric-space
  108. 89. principal-bundle
  109. 90. group-action
  110. 91. stereographic-projection
  111. 92. Hopf-bundle
  113. field-theory
  114. 93. point-particle-non-relativity
  115. 94. point-particle-relativity
  116. 95. scalar-field
  117. 96. scalar-field-current
  118. 97. scalar-field-non-relativity
  119. 98. projective-lightcone
  120. 99. spacetime-momentum-spinor-representation
  121. 100. Lorentz-group
  122. 101. spinor-field
  123. 102. spinor-field-current
  124. 103. electromagnetic-field
  125. 104. Laplacian-of-tensor-field
  126. 105. Einstein-metric
  127. 106. interaction
  128. 107. harmonic-oscillator-quantization
  129. 108. spinor-field-misc
  130. 109. reference

note-math

cf. metric.typ

[geodesic]

测地线作为可能的 "最小长度路径". 作用量

ODE 初值 . 测地线的定义不依赖于坐标选取

是 metric-volume-form 限制在 1 dimension path. 是 induced quadratic-form

Lagrange 方程是

对于路径的单位长度参数, , 方程变成

product-rule 展开 , where . 移项并使用 , 方程变成

或者写为

其中 是 [metric-connection] alias [Levi-Civita-connection] alias [Christoffel-symbols]

metric-connection 不是 tensor. metric-connection 的变换方式 [connection-transformations]

by 的定义中的 metric 的变换方式

[geodesic-exponential] …

[geodesic-coordinate]

测地线 or with 给出坐标

它是局部微分同胚 by at , by

  • ODE 的解解析地依赖于初值

在测地线坐标, 测地线方程是 . Proof 测地线是

在 点测地线坐标, 点联络是零,

Proof

ODE

初值 and

将 ODE 的解 代入 ODE 得到

从而在 点对所有方向 , ==> at

[Taylor-expansion-of-metric-in-geodesic-coordinate]

在测地线坐标, metric 的 Taylor 展开

  • 零阶项是标准 metric

  • 一阶项是零 i.e. 一阶微分是零

结合两者,

Proof

在 点测地线坐标

  • 0th. 对测地线坐标, 在 点 , 将测地线坐标里的原点的正交规范基 复制地映射到 点切空间 coordinate-frame

  • 1st.

[differenial-of-metric-vs-connection] Prop Proof 直接把 的 定义 代入式子

然后用 得到 点

在坐标中

也可以写为

对于逆矩阵, 有类似的

[differenial-of-metric-inverse-vs-connection] Prop

Proof 使用 以及

在坐标中

也可以写为