note-math

非相对论时空 $ℝ \times ℝ^{3}$

action-point-particle-non-relativity_(tag) 路径 $𝑡 ⇝ 𝑥 (𝑡)$ 的作用量

\int 𝑑 𝑡 (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - 𝑈 (𝑥))

let $𝑋 (𝑡)$ 是时变向量场 or 时变 δ diffeomorphism, 或者 $(1, 𝑋 (𝑡, 𝑥_{1 . . 3}))$ 是非相对论时空 $ℝ \times ℝ^{3}$ 的特殊类型的向量场

let $𝑋 (𝑡)$ 在边界是零 — 固定路径的终点

let 作用量的微分是零

0 = \partial 𝑆 \cdot 𝑋 (𝑡) = \int 𝑑 𝑡 (\frac{\partial}{\partial \dot{𝑥}} (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2}) \cdot \dot{𝑋} - \frac{\partial 𝑈}{\partial 𝑥} (𝑥) \cdot 𝑋)

where $\frac{\partial}{\partial \dot{𝑥}} (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2}) = 𝑚 \dot{𝑥}$

use product rule

\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} ((𝑚 \dot{𝑥}) \cdot 𝑋) = 𝑚 \ddot{𝑥} \cdot 𝑋 + 𝑚 \dot{𝑥} \cdot \dot{𝑋}

and $𝑋 (𝑡)$ 在边界是零, 使得

\int 𝑑 𝑡 (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (𝑚 \dot{𝑥}) \cdot 𝑋) = 0

所以作用量的微分是

0 = - \int 𝑑 𝑡 ((𝑚 \ddot{𝑥} + \frac{𝑑 𝑈}{𝑑 𝑥}) 𝑋)

对所有 δ diffeomorphism $𝑋 (𝑡)$ 成立, 从而给出 Lagrange-equation (alias Euler–Lagrange-equation), 对于非相对论点粒子, Newton-equation_(tag)

𝑚 \ddot{𝑥} + \frac{\partial 𝑈}{\partial 𝑥} = 0

作用量的动量部分 $\int 𝑑 𝑡 (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2})$ 没有用 $ℝ^{3}$ 的 volume-form, 而是用 $ℝ^{3}$ 的二次型 $| \dot{𝑥} |^{2}$ 和时间 $ℝ$ 的 volume-form $𝑑 𝑡$

Lagrangian 可以写为函数 $𝐿 (𝑥, \dot{𝑥}) = \frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - 𝑈 (𝑥)$ (切丛上的函数)

一般点粒子作用量的 Lagrange-equation

对一般的 $𝐿$ , 重复上述过程. 作用量

\int 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑥, \dot{𝑥}))

作用量的微分

\int 𝑑 𝑡 (\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} \cdot 𝑋 + \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot \dot{𝑋})

use

\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑋) = (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}}) \cdot 𝑋 + \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot \dot{𝑋}

在边界是零 + 对所有 δ diffeomorphism $𝑋$ , 积分是零 ==> point-particle-Lagrange-equation_(tag)

\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} - \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} = 0

Euclidean 型 metric-manifold

推广到 Euclidean 型 metric-manifold

需要 #link(<metric-connection>)[]

尽管没有使用 metric volume form, 由于作用量的动能部分的形式, 仍然联系到 metric 测地线

对称与守恒量

处理非相对论时空 $ℝ \times ℝ^{3}$ 的对称性 alias Galileo 群, 生成自 $ℝ \times ℝ^{3}$ 的平移, 旋转, 非相对论 boost

let $𝑡 ⇝ 𝑥 (𝑡)$ 是作用量方程的解

注意, 对 $𝑥 (𝑡)$ 的沿对称的变分可能会使得它不再是方程的解, i.e. 对称的 δ diffeomorphism 可能不在边界是零 i.e. 会改变路径端点, 所以相关的对作用量的微分 at 解 $𝑥 (𝑡)$ , 可能不是零

时间平移

在非相对论, 保持时间 $ℝ$ 的测度和方向的映射是时间平移 $𝑡 ⇝ 𝑡 + 𝑎$

δ 积分区域的变分 calculation-1-action-point-particle-non-relativity_(tag)

\begin{matrix} \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑡_{0} + 𝑠 𝑎}^{𝑡_{1} + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑡)) & = & (𝐿 (𝑡_{1}) - 𝐿 (𝑡_{0})) \cdot 𝑎 \\ = & \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} 𝐿 (𝑡) \cdot 𝑎) \end{matrix}

第一个等式可以来自微积分基本定理 + 复合函数微分

一般地, 改变区域 $𝐼$ 通过 $exp (𝑎 (𝑡))$ #link(<vector-field-as-δ-diffeomorphism>)[通过 δ diffeomorphism] $𝑎 (𝑡)$ 给出

\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{exp (𝑠 𝑎 (𝑡)) 𝐼} 𝑑 𝑡 (𝑓 (𝑡)) = \int_{𝐼} 𝑑 𝑡 (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} 𝑓 (𝑡) \cdot 𝑎 (𝑡))

另一边, use #link(<integral-change-of-variable-formula>)[变量替换公式]

\int_{𝑡_{0} + 𝑠 𝑎}^{𝑡_{1} + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑡)) = \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑡 + 𝑠 𝑎))

将其应用到

\begin{matrix} 𝐿 (𝑡) & = & 𝐿 (𝑥 (𝑡), \dot{𝑥} (𝑡)) \end{matrix}

然后使用微分积分的交换

\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 = \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 \frac{𝑑}{𝑑 𝑠}

复合函数微分 $\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} 𝐿 (𝑥 (𝑡 + 𝑠 𝑎), \dot{𝑥} (𝑡 + 𝑠 𝑎)) = \frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} \dot{𝑥} 𝑎 + \frac{𝑑 𝐿}{𝑑 \dot{𝑥}} \ddot{𝑥} 𝑎$

是作用量对 (改变端点的) δ differentiation $\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} (0) 𝑥 (𝑡 + 𝑠 𝑎) = 𝑎 \dot{𝑥} (𝑡) = 𝑋 (𝑡)$ 在解 $𝑥 (𝑡)$ 处的变分 calculation--action-point-particle-non-relativity_(tag)

\begin{matrix} \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑡_{0} + 𝑠 𝑎}^{𝑡_{1} + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑡)) & = & \int 𝑑 𝑡 (\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} \cdot 𝑋 + \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot \dot{𝑋}) \\ = & \int 𝑑 𝑡 ((\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} - \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}}) \cdot 𝑋 + \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑋)) \\ by product-rule of \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑋) \\ = & \int 𝑑 𝑡 (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑋)) \\ Lagrange-equation \frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑥} - \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} = 0 \end{matrix}

recall #link(<calculation-1-action-point-particle-non-relativity>)[]

\begin{matrix} \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑡_{0} + 𝑠 𝑎}^{𝑡_{1} + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑡)) & = & 𝐿 (𝑡) |_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} \cdot 𝑎 \\ = & \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} 𝐿 (𝑡) \cdot 𝑎) \end{matrix}

use $𝑋 = 𝑎 \dot{𝑥}$ , 将上一项与下一项合并

\int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑋) = (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot \dot{𝑥} \cdot 𝑎) |_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}}

得到

(\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot \dot{𝑥} - 𝐿) |_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} \cdot 𝑎 = 0

量

𝐸 = \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot \dot{𝑥} - 𝐿

称为作用量 $𝐿$ 的能量, 是沿时间 $𝑡$ 不变的, forall $𝑎 \in ℝ$ , i.e. 守恒. 对所有 $𝑡_{0} < 𝑡_{1}$ 成立也蕴含 $\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} 𝐸 = 0$

对于 $𝐿 = \frac{1}{2} 𝑚 \dot{𝑥} {(𝑡)}^{2} - 𝑈 (𝑥 (𝑡))$ 能量是 energy-point-particle-non-relativity_(tag)

\begin{matrix} 𝐸 & = & 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - 𝑈) \\ = & \frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} + 𝑈 \end{matrix}

Homogeneity of Time ==> Conservation of Energy

空间平移

作用量的动能部分

\int 𝑑 𝑡 (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2})

尽管空间平移 δ diffeomorphism 不在边界是零或者会改变路径端点, 时间端点没有变, 且空间平移不改变动能. with $𝑥 + 𝑠 𝑎$ , $\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (𝑥 + 𝑠 𝑎) = \dot{𝑥}$

\begin{matrix} \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} (𝑠 = 0) \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 (\frac{1}{2} 𝑚 {(\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (𝑥 + 𝑠 𝑎))}^{2}) \\ = & \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2}) \\ = & 0 \end{matrix}

所以类似 #link(<calculation-2-action-point-particle-non-relativity>)[能量的情况], with δ diffeomorphism $\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} (𝑥 + 𝑠 𝑎) = 𝑎 = 𝑋 (𝑡)$

0 = \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝑑 𝑡 (\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} (\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑋)) = \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} |_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} \cdot 𝑎

momentum-point-particle-non-relativity_(tag) 作用量 $\int 𝑑 𝑡 (\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2})$ 的动量

𝑚 \dot{𝑥} \cdot 𝑎

沿时间 $𝑡$ 不变, forall $𝑎 \in ℝ^{3}$ , i.e. 守恒

更一般地, let 作用量 $\int 𝑑 𝑡 (𝐿 (𝑥, \dot{𝑥}))$ with $\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑎} = 0$ 使得这个方向的端点不影响作用量, 则动量

\frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}} \cdot 𝑎

守恒

Homogeneity of Space ==> Translation Invariance of $𝐿$ ==> Conservation of Total Linear Momentum

Lagrangian

𝐿 (𝑥, \dot{𝑥}) = \frac{1}{2} \sum 𝑚_{𝑖} {\dot{𝑥}}_{𝑖}^{2} - \sum_{𝑖 < 𝑖^{'}} 𝑈 (| 𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}} |)

$\frac{\partial 𝐿}{\partial 𝑎} = 0$ forall $𝑎 \in ℝ^{3}$ (by $(𝑥_{𝑖} + 𝑎) - (𝑥_{𝑖^{'}} + 𝑎) = 𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}}$ ) 所以动量

\sum 𝑚 {\dot{𝑥}}_{𝑖} \cdot 𝑎

守恒

空间的旋转

选择一个原点. Lagrangian

𝐿 (𝑥, \dot{𝑥}) = \frac{1}{2} \sum 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - 𝑈 (| 𝑥 |)

$so (3)$ 表示为绕轴 $𝑛$ 的旋转, cross product $𝑛 \times 𝑥$ 是 δ 旋转

绕轴旋转 ==> $(𝑛 \times 𝑥) ⟂ 𝑛$

in $ℂ$ , $𝑒^{𝜃 i} 𝑧 = 𝑧 + 𝜃 i 𝑧 + 𝑜 (𝑧)$ with $𝜃 i \in Im (ℂ) = u (1) = so (2)$ , $𝑧 ⟂ i 𝑧$ and magnitude $| 𝜃 i | = | 𝑛 |$

长度对方向不变 $\frac{\partial | 𝑥 |}{\partial 𝑥} \cdot (𝑛 \times 𝑥) = 0$

类似动量的情况, Lagrangian 对旋转 invariant, δ diffeomorphism (tangent vector field) 是 $𝑛 \times 𝑥$ , 因此

rotation-momentum-point-particle-non-relativity_(tag) 旋转动量 rotation-momentum alias 角动量 angular-momentum

𝑚 \dot{𝑥} \cdot (𝑛 \times 𝑥) = 𝑛 \cdot (𝑥 \times 𝑚 \dot{𝑥})

是沿时间 $𝑡$ 不变的, forall $𝑛 \in so (3)$

量

𝑥 \times 𝑚 \dot{𝑥}

也是称为旋转动量

更一般地 $𝐿 (𝑥, \dot{𝑥})$ with $𝑛 \cdot (𝑥 \times \partial) 𝑓 = 0$ 使得 Lagrangian 对绕 $𝑛$ 旋转 invariant, 则绕 $𝑛$ 旋转动量是

𝑥 \times \frac{\partial 𝐿}{\partial \dot{𝑥}}

Isotropy of Space ==> Rotational Invariance of $𝐿$ ==> Conservation of Total Angular Momentum

$𝑎 \cdot (𝑏 \times 𝑐)$ = #link(<volume-of-parallelogram>)[平行体有向体积] span by $𝑎, 𝑏, 𝑐$ in Euclidean $ℝ^{3}$

旋转动量 $𝑥 \times 𝑚 \dot{𝑥}$ 是对时间的常值, 所以 ${span (𝑥 \times \dot{𝑥})}^{⟂}$ 是常值 2d 平面. 由于 $(𝑥 \times \dot{𝑥}) ⟂ 𝑥, \dot{𝑥}$ , $span (𝑥, \dot{𝑥}) \subset {span (𝑥 \times \dot{𝑥})}^{⟂}$ , $𝑥 (𝑡)$ 在常值二维平面 ${span (𝑥 \times \dot{𝑥})}^{⟂}$

对于点粒子系统的 Lagrangian

𝐿 (𝑥, \dot{𝑥}) = \frac{1}{2} \sum 𝑚_{𝑖} {\dot{𝑥}}_{𝑖}^{2} - \sum_{𝑖 < 𝑖^{'}} 𝑈 (| 𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}} |)

总旋转动量

𝑛 \cdot \sum (𝑥_{𝑖} \times 𝑚 {\dot{𝑥}}_{𝑖})

是沿时间 $𝑡$ 不变的

非相对论 boost

非相对论 boost $𝑥 ⇝ 𝑥 + 𝑡 \cdot 𝑣$

作用量 $\int \frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} 𝑑 𝑡$ 的守恒量是

𝑚 (𝑡 \cdot \dot{𝑥} - 𝑥) \cdot 𝑣

forall $𝑣 \in ℝ^{3}$

作用量 $\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2}$ 拥有非相对论时空 $ℝ \times ℝ^{3}$ 的所有 δ 对称的守恒量, 10 dimensional
作用量 $\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - 𝑈 (𝑥)$ 有守恒的能量
作用量 $\sum \frac{1}{2} 𝑚_{𝑖} {\dot{𝑥}}_{𝑖}^{2} - \sum_{𝑖 < 𝑖^{'}} 𝑈 (𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}})$ 有守恒的能量, 动量
作用量 $\frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} - 𝑈 (| 𝑥 |)$ 有守恒的能量, 旋转动量
作用量 $\sum \frac{1}{2} 𝑚_{𝑖} {\dot{𝑥}}_{𝑖}^{2} - \sum_{𝑖 < 𝑖^{'}} 𝑈 (| 𝑥_{𝑖} - 𝑥_{𝑖^{'}} |)$ 有守恒的能量, 动量, 旋转动量, 7 dimension

非相对论 potential $(𝑉, 𝐴) \in ℝ \times ℝ^{3}$

刚体

由 $SO (3)$ (or $SO (2)$ ) 参数化, 所以可以认为是 Euclidean 型流形 $SO (3)$ 上的非相对论粒子. 但 metric 的使用 or 动能的使用不是 $so (3)$ 的 #link(<Killing-form>)[], 因为 of $so (3)$ , 因为对于不是均匀质量分布的球的物体, 在不同方向的旋转有不同的惯性. 转动惯量 moment of inertia i.e. metric $𝑔$ 可能需要额外计算

也可以将转动惯量作为 Killing-form 下的对称算子, 特征基成是惯量主轴, 特征值是惯量矩