note-math

子空间 $span (𝑣, 𝑤) ↪ ℝ^{𝑝, 𝑞}$

以下等价

$dim (span (𝑣, 𝑤)) = 2$
$𝑣, 𝑤$ not co-linear
$𝑣 \land 𝑤 \neq 0$

if $span (𝑣, 𝑤) ≃ ℝ^{1, 1}$ , 可能

2 time(-like)
Example

$𝑣 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), 𝑤 = (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑏 \end{matrix})$ , where $0 < | 𝑏 | < | 𝑎 |$
${⟨ 𝑤 ⟩}^{2} = 𝑎^{2} - 𝑏^{2} > 0$
可以线性生成 $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$
1 time, 1 space
Example $𝑣 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), 𝑤 = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$
1 time, 1 null
Example $𝑣 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), 𝑤 = (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑎 \end{matrix})$
2 null
Example $ℝ^{1, 1}, 𝑣 = (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑎 \end{matrix}), 𝑤 = (\begin{matrix} 𝑎 \\ - 𝑎 \end{matrix})$ . 注意 $𝑣 \cdot 𝑤 = 2 𝑎^{2} \neq 0$ . signature $(1, 1)$
2 space.
Example
$𝑣 = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), 𝑤 = (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑏 \end{matrix})$ , where $0 < | 𝑎 | < | 𝑏 |$
other cases (symmetry of time $⟷$ space)

考虑一般的 $ℝ^{1, 𝑛}$ 中的 $span (𝑣, 𝑤)$

signature-of-2d-subspace-of-spacetime_(tag) Prop Minkowski $(1, 𝑛)$ 在 $dim = 2$ 的 $span (𝑣, 𝑤)$ 的可能 signature 是

$1, 1$
$0, 2$
$0, 1$

Prop time-like 只正交于 space-like

let $𝑣$ time-like. 使用正交分解, let $𝑣 = 𝑣_{0}, 𝑤 = 𝑤_{0} + 𝑤$ then $⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ = 𝑣_{0} 𝑤_{0} = 0 ⟹ 𝑤_{0} = 0$ ==> $𝑤$ space-like

Prop light-like $𝑣$ 不正交于

time-like
与自身共线 $𝑘 𝑣$ 之外的 light-like metric-cannot-distinguish-colinear-light-like_(tag)

Proof (ref-7, (ref-9, p.13))

根据情况取一个正交分解 $ℝ^{1, 𝑛} = ℝ_{time} \oplus ℝ_{space}^{𝑛}$

\begin{matrix} 𝑣 & = & 𝑣_{0} + 𝑣 \\ 𝑤 & = & 𝑤_{0} + 𝑤 \end{matrix}

$𝑤$ time-like ==> let $𝑤 = 𝑤_{0}$ ==> $⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ = 𝑣_{0} 𝑤_{0} \neq 0$
$𝑤$ light-like

\begin{matrix} {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} & = & 0 & ⟹ & 𝑣_{0}^{2} & = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} \\ {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} & = & 0 & ⟹ & 𝑤_{0}^{2} & = & {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ & = & 0 & ⟹ & 𝑣_{0} 𝑤_{0} & = & ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \end{matrix}

我们证明 $𝑤_{0} \cdot 𝑣 = 𝑣_{0} \cdot 𝑤$

\begin{matrix} 𝑤_{0} \cdot 𝑣 - 𝑣_{0} \cdot 𝑤 \\ = & 𝑤_{0} \cdot 𝑣 - 𝑣_{0} \cdot 𝑤 \\ \in & ℝ_{space}^{𝑛} \end{matrix}

but

\begin{matrix} {⟨ 𝑤_{0} \cdot 𝑣 - 𝑣_{0} \cdot 𝑤 ⟩}^{2} \\ = & 𝑤_{0}^{2} {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} - 2 𝑣_{0} 𝑤_{0} \cdot ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ + 𝑣_{0}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ = & 0 \end{matrix}

space-like 但长度零, 所以 $𝑤_{0} \cdot 𝑣 - 𝑣_{0} \cdot 𝑤 = 0$

==> $𝑤_{0} \cdot 𝑣 - 𝑣_{0} \cdot 𝑤 = 0$

Prop $ℝ^{1, 𝑛}$ 的二维子空间的 signature 不可能是 $1, 0$ or $0, 0$

Proof 用上一个定理

Prop $ℝ^{1, 𝑛}$ 的两个不共线 time-like $𝑣, 𝑤$ 的展开 $span (𝑣, 𝑤)$ 的 signature 是 $1, 1$

Proof 以其中一个为初始的基来生成 $span (𝑣, 𝑤)$ 正交基, 但 signature 不能是 $1, 0$ , 所以只能是 $1, 1$

$𝑣$ 的射影 ${𝑘 𝑣 \in ℝ^{1, 3} : 𝑘 \in ℝ} \subset cone$

Prop let ${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} = 0$ , let $𝑤$ time-like or light-like with $𝑣, 𝑤$ 不共线. 则 $span (𝑣, 𝑤) ⊄ cone$

Proof

已知 $⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \neq 0$

在光锥上等价于解变量 $𝑏$ 的二次方程 $0 = {(𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑤)}^{2} = 𝑎 𝑏 \cdot ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ + 𝑏^{2} \cdot {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} = 𝑏 (𝑏 \cdot {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} + 𝑎 \cdot ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩)$

$𝑏 \neq 0 ⟹ 𝑏 = {\begin{matrix} - \frac{𝑎 \cdot ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}{{⟨ 𝑤 ⟩}^{2}} & if {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \neq 0 \\ ℝ & if {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} = 0 \end{matrix}$

Prop $ℝ^{1, 𝑛}$ 的两个不共线 light-like $𝑣, 𝑤$ 的展开 $span (𝑣, 𝑤)$ 的 signature 是 $1, 1$ or $0, 1$

Proof $ℝ^{0, 2}$ Euclidean 没有 light-like, 所以无其它可能性

Example

$ℝ^{1, 1}$ 的 $(\begin{matrix} 1 \\ \pm 1 \end{matrix})$
$ℝ^{1, 2}$ 的 $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ . 相减得到正交基 $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$

simultaneity-relativity_(tag) 相对论同时性

use 正交基延拓

in $1, 𝑛$ , $dim = 𝑛$ space-like 子空间的正交补是 $dim = 1$ time-like 子空间

( $span (𝑣, 𝑣^{'}) ≃ ℝ^{2}$ space-like <==> 存在 time-like $𝑤$ 同时正交于 $𝑣, 𝑣^{'}$ )
( $span (𝑣, 𝑣^{'}) ≃ ℝ^{1, 1}$ not space-like <==> 不存在 time-like $𝑤$ 同时正交于 space-like $𝑣, 𝑣^{'}$ )

直观: 不同 space-like 子空间 $𝑆, 𝑆^{'}$ 无法使用兼容的时间计算方式 or $𝑆, 𝑆^{'}$ 的 time-like 正交补不相同

use $ℝ^{1, 𝑛}$ 正交分解

$𝑣 = 𝑣_{0} + 𝑣$

$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ = 𝑣_{0} 𝑤_{0} - ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩$

${⟨ 𝑣 ⟩}^{2}, {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \geq 0$

分类讨论 $sign (𝑣_{0} 𝑤_{0})$ . 内积的时间相乘的符号决定内积的符号

\begin{matrix} sign (𝑣_{0} 𝑤_{0}) & = & sign (𝑣_{0} 𝑤_{0} - ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩) \\ = & sign (⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩) \end{matrix}

${⟨ 𝑣 ⟩}^{2}, {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \leq 0$

分类讨论 $sign (⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩)$ . 内积的空间相乘的符号决定内积的符号

\begin{matrix} sign (- ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩) & = & sign (𝑣_{0} 𝑤_{0} - ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩) \\ = & sign (⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩) \end{matrix}

in Euclidean, we have #link(<quadratic-form-inequality-Euclidean>)[内积不等式] $| ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ |^{2} \leq | 𝑣 | | 𝑤 |$ ==> #link(<triangle-inequality-Euclidean>)[三角不等式] $| 𝑣 + 𝑤 | \leq | 𝑣 | + | 𝑤 |$

in signature $𝑝, 𝑞$ 二次型, 这一般不成立

将 $𝑝, 𝑞$ 二次型 #link(<tensor-induced-quadratic-form>)[导出] 到交错二阶线性

${⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} = det (\begin{matrix} {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} & ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \\ 𝑤 𝑣 & {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \end{matrix}) = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - {⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}^{2}$

quadratic-form-inequality-Minkowski_(tag) 内积不等式

in $ℝ^{1, 𝑛}$ , let $𝑣, 𝑤$ not co-linear, so $dim (span (𝑣, 𝑤)) = 2$

$ℝ^{1, 𝑛}$ 二次型限制在 $span (𝑣, 𝑤)$ 上, signature

$1, 1$ ==> ${⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - {⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}^{2} < 0$ ==> ${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} < {⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}^{2}$
$0, 2$ ==> ${⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - {⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}^{2} > 0$ ==> ${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} > {⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}^{2}$

Proof

$dim (span (𝑣, 𝑤)) = 2$ ==> $dim (⋀^{2} span (𝑣, 𝑤)) = (\binom{2}{2}) = 1$

$span (𝑣, 𝑤)$ 二次型导出到 $⋀^{2} span (𝑣, 𝑤)$

signature

$1, 1$ of $span (𝑣, 𝑤)$ ==> $(- 1)$ of $⋀^{2} span (𝑣, 𝑤)$

Proof

$1, 1$ of $span (𝑣, 𝑤)$ 正交基 $𝑒_{0}, 𝑒_{1}$ , $𝑒_{0}^{2} = 1, 𝑒_{1}^{2} = - 1$ ==> $⋀^{2} span (𝑣, 𝑤)$ 正交基 $𝑒_{0} \land 𝑒_{1}$ , ${(𝑒_{0} \land 𝑒_{1})}^{2} = 𝑒_{0}^{2} \cdot 𝑒_{1}^{2} = - 1$

==> ${⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} < 0$ , i.e. 内积不等式
$0, 2$ of $span (𝑣, 𝑤)$ ==> $(+ 1)$ of $⋀^{2} span (𝑣, 𝑤)$

==> ${⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} > 0$

triangel-inequality-Minkowski_(tag) 三角不等式

${⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + 2 ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2}$

2 time

${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} > 0$ , $| 𝑣 | ≔ {({⟨ 𝑣 ⟩}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ > 0$ ==> $| 𝑣 + 𝑤 | > | 𝑣 | + | 𝑤 |$
$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ < 0$ ==> ${⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} < {(| 𝑣 | - | 𝑤 |)}^{2}$

1 time, 1 null

${⟨ 𝑤 ⟩}^{2} = 0$ ==> ${⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + 2 ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩$

$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ > 0$ ==> ${⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} > {⟨ 𝑣 ⟩}^{2}$
$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ < 0$ ==> ${⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} < {⟨ 𝑣 ⟩}^{2}$

Proof of 2 time-like

${⟨ 𝑣 ⟩}^{2}, {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} > 0$

$| 𝑣 | ≔ {({⟨ 𝑣 ⟩}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ > 0$

${⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} > 0$

use #link(<quadratic-form-inequality-Minkowski>)[] ${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - {⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}^{2} = {⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} < 0$

==> $| 𝑣 | | 𝑤 | < ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩$

==>

\begin{matrix} {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} & > & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + 2 | 𝑣 | | 𝑤 | + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ = & {(| 𝑣 | + | 𝑤 |)}^{2} \end{matrix}

==>

| 𝑣 + 𝑤 | > | 𝑣 | + | 𝑤 |

$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ < 0$

$⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ < 0$

==> $- | 𝑣 | | 𝑤 | > ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩$

==>

\begin{matrix} {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} & < & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} - 2 | 𝑣 | | 𝑤 | + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ = & {(| 𝑣 | - | 𝑤 |)}^{2} \end{matrix}

$sign {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2}$ 不确定

Example let $𝑣 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ . let $𝑤$ 过去 time-like

$𝑤 = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) ⟹ {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} = 0$
$𝑤 = (\begin{matrix} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) ⟹ {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} = - \frac{1}{4}$
$𝑤 = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}) ⟹ {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} = \frac{1}{4}$

Euclidean 空间已经可以讨论不同的收敛方向 e.g. 序列 $\frac{𝑥_{𝑛}}{| 𝑥_{𝑛} |}$ 是否收敛到 $𝕊^{𝑛 - 1}$ . 螺旋线 like 的东西在方向空间不收敛

Euclidean 空间在所有 $𝕊^{𝑛 - 1}$ 方向收敛到一点 <==> 在所有方向一致地收敛到一点, by compactness of $𝕊^{𝑛 - 1}, {ℝ ℙ}^{𝑛 - 1}$

Minkowski 空间方向空间 $ℚ^{1, 𝑛} (\pm 1)$ is non compact. 虽然我们尚未定义 $ℚ^{1, 𝑛} (\pm 1)$ 的网

Minkowski 空间的 #link(<net>)[] 需要足够远离光锥 ${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} = 0$

let ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time / space) ≔ {𝑥 \in ℝ^{1, 𝑛} : 𝑥^{2} = \pm 1}$

对于收敛的类时方向, 可以分开

未来: $𝑣 \in {ℍ 𝕪}^{𝑛} (time, future) = {𝑥 \in ℝ^{1, 𝑛} : 𝑥^{2} = 1, 𝑥_{0} > 0}$
过去: $𝑣 \in {ℍ 𝕪}^{𝑛} (time, past) = {𝑥 \in ℝ^{1, 𝑛} : 𝑥^{2} = 1, 𝑥_{0} < 0}$
混合: ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ quotient 掉双叶 $\pm 𝑣$ , 成为 projective space 式的方向空间

in $ℝ^{1, 1}$

let $ℍ 𝕪 ≔ {ℍ 𝕪}^{1} (time, future) = {(𝑡, 𝑥) \in ℝ^{1, 1} : 𝑡^{2} - 𝑥^{2} = 1, 𝑡 > 0}$

hyperbolic-complex_(tag) 双曲复数. cf. #link(<split-complex-number>)[]

$(𝑥, 𝑦) ≃ 𝑥 + 𝑦 i_{split} = 𝑥 𝟙 + 𝑦 i_{split}$

$𝟙 \cdot i_{split} = i_{split} \cdot 𝟙 = i_{split}$
${i_{split}}^{2} = 𝟙$
$(𝑥_{1} + 𝑦_{1} i_{split}) \cdot (𝑥_{2} + 𝑦_{2} i_{split})$ 按分配率展开

hyperbolic-exp_(tag)

$exph 𝑧 ≔ \sum_{𝑛 \in ℕ} \frac{1}{𝑛!} 𝑧^{𝑛}$

use 二项式

$exph (𝑧 + 𝑤) = (exph 𝑧) (exph 𝑤)$
$exph (𝑡 + i_{split} 𝑥) = exph (𝑡) exph (i_{split} 𝑥)$
$exph (ϕ i_{split}) = cosh ϕ + (sinh ϕ) i_{split} \in ℍ 𝕪$ , $ϕ \in ℝ$ . by ${cosh}^{2} - {sinh}^{2} = 1$

polor-coordinate-hyperbolic_(tag)

双曲极坐标 $𝑣 = | 𝑣 | exph (ϕ i_{split})$ , $| 𝑣 | = {(𝑣 𝑣^{*})}^{\frac{1}{2}} = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2^{\frac{1}{2}}}$ , $ϕ \in ℝ$ . $ϕ$ can come from $ℍ 𝕪$ 测地线长度参数. 也称为双曲角度 hyperbolic-angle_(tag)

极坐标即距离和方向的分解

$| 𝑣 |$ 不是 $ℍ 𝕪$ 测地线长度, 而是 $𝑣 \in ℝ^{1, 1}$ 的长度

hyperbolic-isom_(tag)

group isomorphism (比较复数的情况)

$ℝ$
$ℍ 𝕪$
$U (1, ℂ_{split})$
$SO (1, 1)$

$exph ((ϕ + 𝜓) i_{split}) = exph (ϕ i_{split}) exph (𝜓 i_{split})$

$ϕ ⇝ sinh ϕ = \frac{1}{2} (𝑒^{ϕ} - 𝑒^{- ϕ})$ 单调递增

解二次方程 $𝑥 = \frac{1}{2} (𝑒^{ϕ} - \frac{1}{𝑒^{ϕ}}) ⟺ {(𝑒^{ϕ})}^{2} - 2 𝑥 𝑒^{ϕ} - 1$ 得到逆映射

$ϕ = {sinh}^{- 1} (𝑥) = log (𝑥^{2} + {(𝑥^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

inverse $argh : ℍ 𝕪 \to ℝ$

$argh (𝑡 + 𝑥 i_{split}) = log (𝑥^{2} + {(𝑥^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Question 模仿 $ℂ$ 用球极投影和 $\tan^{- 1}$ , $ℂ_{split}$ 用 #link(<stereographic-projective-hyperbolic>)[双曲投影] 和 ${tanh}^{- 1}$ 来处理双曲角度 or 测地线长度映射 $argh$

$ℍ 𝕪$ 的测地线坐标就是 $exph (i_{split} ϕ), ϕ \in ℝ$

记号冲突. 测地线坐标也通常用记号 $exp$ , 但不是用 $i, i_{split}$ 代数去定义的

测地线坐标是 Riemman 同构 or Euclidean 同构

$𝐴 \subset ℍ 𝕪$ compact <==> $\frac{1}{i_{split}} logh 𝐴 \subset ℝ$ compact

双曲极坐标 $ℝ^{1, 1} (time, future) ≃ ℝ (\geq 0) \times ℍ 𝕪$

\begin{matrix} ℝ (\geq 0) \times ℝ & ⟶ & ℂ_{split} & ⟶ & ℝ^{1, 1} \\ (𝑟, ϕ) & ⟿ & 𝑟 exph (ϕ i_{split}) & ⟿ & 𝑟 (cosh ϕ, sinh ϕ) \end{matrix}

net structure of $0 \in ℝ^{1, 1}$

距离 $𝑟 = | 𝑧 |$ , 方向空间 $ℍ 𝕪$ or 其射影 $ℍ 𝕪 ℙ$ , 测地线长度 $ϕ$ 都是 $SO (1, 1)$ invariant. $SO (1, 1)$ 是 $ℍ 𝕪$ 的 isometry group

远离光锥 ${⟨ 𝑣 ⟩}^{2} = 0$ 地定义 (time,future) #link(<net>)[网]

$[0, 𝑟] \times [ϕ - 𝑅, ϕ + 𝑅]$ . $𝑅$ 作为测地线球半径

or 距离空间 $ℝ_{\geq 0}$ 和方向空间 $ℍ 𝕪$ 的 product net struct

极限方式

$𝑟 \to 0$ 距离连续
$𝑅 \to 0$ 方向连续

in $ℝ^{1, 1}$ , 类时类空基本上是对称的, 所以 space like net 也是类似的

$𝑓 : ℝ^{1, 1} \to ℝ^{1, 1}$ ((time,future),(time,future)) 连续 at $𝑓 (0) = 0$ :=

in 双曲极坐标

\begin{matrix} \forall 𝜀, Ε > 0 \\ \exists 𝛿, Δ > 0 \\ \forall 𝑟 < 𝛿, 𝑅 < Δ \\ (| 𝑓 | < 𝜀) \land (| argh (𝑓) | < Ε) \end{matrix}

推广到高维

二次流形 $ℚ^{𝑝, 𝑞} (\pm 1)$ 的切空间可以定义为正交于径向的 (仿射) 子空间

二次流形 $ℚ^{𝑝, 𝑞} (\pm 1)$ 的测地线的定义不需要流形技术, 只需要用测地线 as 截线 of 截面 span by (径向 + 切向) + 嵌入的双曲线 $ℍ 𝕪$ 及其测地线长度. Question 是否有好的解释?

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time) = ℚ^{1, 𝑛} (1)$ type

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space) = ℚ^{1, 𝑛} (- 1)$ type

geodesic-of-quadratic-manifold_(tag) ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ 测地线

let $𝑣 \in {ℍ 𝕪}^{𝑛} (time) = ℚ^{1, 𝑛} (1) = {𝑥_{0}^{2} - (𝑥_{1}^{2} + \dots + 𝑥_{𝑛}^{2}) = 1}$

正交补空间 $𝑣^{⟂} ≃ ℝ^{𝑛}$ , $𝑛$ 维类空

仿射空间 $𝑣 + 𝑣^{⟂}$ as 切空间 of ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$

let $𝑤 \in 𝑣^{⟂}$ , $| 𝑤 | = 1$

$span (𝑣, 𝑤)$ 是二维子空间, signature $1, 1$

$span (𝑣, 𝑤) ≃ ℝ^{1, 1}$ , 并与 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ 相交得到嵌入的 $ℍ 𝕪$

得到 $𝑣$ 基点 $𝑤$ 方向的测地线

ϕ ⇝ 𝑣 cosh (ϕ) + 𝑤 sinh (ϕ)

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ 测地线球

𝔹 (𝑣, 𝑅) = {𝑣 cosh (ϕ) + 𝑤 sinh (ϕ) \in {ℍ 𝕪}^{𝑛} (time) : 𝑤 \in 𝑣^{⟂}, | 𝑤 | = 1, ϕ \leq 𝑅}

where $𝑣^{⟂} ≃ ℝ^{𝑛}, {| 𝑤 | = 1} ≃ 𝕊^{𝑛 - 1}$

$ℝ^{1, 𝑛}$ 的 (time,future)-like net struct

双曲极坐标 as 距离空间 $ℝ_{\geq 0}$ 和方向空间 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ 的 product net struct

$[0, 𝑟] \times 𝔹 (𝑣, 𝑅)$

极限方式: $𝑟 \to 0$ , $𝑅 \to 0$ . or 距离连续 + 方向连续

$𝑓 : ℝ^{1, 𝑛} \to ℝ^{1, 𝑛}$ (time,future),(time,future) 连续 at $𝑓 (0) = 0$ :=

in 双曲极坐标 (time,future)

\begin{matrix} \forall 𝜀, Ε > 0 \\ \exists 𝛿, Δ > 0 \\ \forall 𝑟 < 𝛿, 𝑅 < Δ \\ (| 𝑓 | < 𝜀) \land (| argh (𝑓) | < Ε) \end{matrix}

let $𝑣 \in {ℍ 𝕪}^{𝑛} (space) = ℚ^{1, 𝑛} (- 1) = {𝑥_{0}^{2} - (𝑥_{1}^{2} + \dots + 𝑥_{𝑛}^{2}) = - 1}$

正交补空间 $𝑣^{⟂} ≃ ℝ^{1, 𝑛 - 1}$

仿射空间 $𝑣 + 𝑣^{⟂}$ as 切空间 of ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$

let $𝑤 \in 𝑣^{⟂}$ , $| 𝑤 | = 1$

$𝑤$ 类时

$span (𝑣, 𝑤)$ signature $1, 1$

$span (𝑣, 𝑤) ≃ ℝ^{1, 1}$ 与 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ 相交得到嵌入的 $ℍ 𝕪$

得到 $𝑣$ 基点 $𝑤$ 方向的测地线

ϕ ⇝ 𝑤 cosh (ϕ) + 𝑣 sinh (ϕ)

$𝑤$ 类空

$span (𝑣, 𝑤)$ signature $0, 2$

$span (𝑣, 𝑤) ≃ ℝ^{2}$ 与 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ 相交得到嵌入的 $𝕊$

得到 $𝑣$ 基点 $𝑤$ 方向的测地线

ϕ ⇝ 𝑤 cos (ϕ) + 𝑣 sin (ϕ)

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ 不是 Euclidean type metric 流形, 所以测地线球的概念需要修改

space like 方向空间 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ 的测地线坐标 $𝑣^{⟂} ≃ ℝ^{1, 𝑛 - 1}$ , 根据维数归纳, 使用 $ℝ^{1, 𝑛 - 1}$ 的 net struct, 得到 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ 的 local net struct

由于 net 是 product type 分解的, 所以归纳下去大概会分解到多个一维半径, 称之为 multi-radius-geodesic-ball_(tag) . 分解顺序会影响吗?

然后尝试用双曲极坐标 i.e. 距离和方向的 product net struct 定义 $ℝ^{1, 𝑛}$ 的 space-like net struct

然后可以定义 $𝑓 : ℝ^{1, 𝑛} \to ℝ^{1, 𝑛}$ (space,space)-like 连续 at $𝑓 (0) = 0$ , 或简称 space-like 连续

$(𝑝, 𝑞)$ signature 的情况应该是类似的

$ℝ^{1, 𝑛}$ 的类时网和类空网并不等价

$𝑓 : ℝ^{1, 𝑛} \to ℝ^{1, 𝑛}$ Minkowski 连续定义为 time-like 连续 and space-like 连续

Minkowski 连续同胚定义为 $𝑓, 𝑓^{- 1}$ 都是 Minkowski 连续

all $𝑓 \in SO (1, 𝑛)$ 都是连续且同胚

$Lin (ℝ^{1, 𝑛} \to ℝ^{1, 𝑛})$ 一般线性函数可能不 Minkowski 连续

测地线坐标 or 双曲极坐标按照定义是局部 Minkowski 同胚或局部 Euclidean 同胚

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ 是 Riemman manifold, const negative curvature

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ 是 Lorentz manifold, const positive curvature

${ℍ 𝕪}^{𝑛} (space)$ alias de Sitter space

hyperbolic-cosine-formula_(tag) 双曲余弦公式

let $𝑣, 𝑤 \in ℍ 𝕪$

let $𝑣 = exph (ϕ i_{split}), 𝑤 = exph (𝜓 i_{split})$

\begin{matrix} ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ & = & Re (𝑣 \cdot 𝑤^{*}) \\ = & Re (exph ((ϕ - 𝜓) i_{split})) \\ = & cosh (ϕ - 𝜓) \end{matrix}

let $𝑣, 𝑤$ 未来 time-like. $| 𝑣 | ≔ {({⟨ 𝑣 ⟩}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

$\frac{𝑣}{| 𝑣 |}, \frac{𝑤}{| 𝑤 |} \in ℍ 𝕪$

$\frac{⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}{| 𝑣 | | 𝑤 |} = cosh (ϕ - 𝜓)$

余弦公式

\begin{matrix} {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} & = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + 2 ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} + 2 | 𝑣 | | 𝑤 | \frac{⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩}{| 𝑣 | | 𝑤 |} \\ = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} + 2 | 𝑣 | | 𝑤 | cosh (ϕ - 𝜓) \end{matrix}

isom-top-hyperbolic-Euclidean_(tag)

$ℍ 𝕪$ 在 $ℂ_{split} = ℝ^{1, 1}$ 距离下的极限结构 $≃$ 测地线距离 $≃$ Euclidean $ℝ^{1}$

Proof

let $𝑣, 𝑤 \in ℍ 𝕪$ , $𝑣 = exph (ϕ i_{split}), 𝑤 = exph (𝜓 i_{split})$

\begin{matrix} {⟨ 𝑣 - 𝑤 ⟩}^{2} & = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - 2 ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \\ = & 2 (1 - cosh (ϕ - 𝜓)) \\ \leq & 0 by cosh \geq 1 \end{matrix}

let $dist (𝑣, 𝑤) ≔ {(- {⟨ 𝑣 - 𝑤 ⟩}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

use $cosh ϕ = 1 ⟺ ϕ = 0$

\begin{matrix} dist (𝑣, 𝑤) = 0 & ⟺ & {⟨ 𝑣 - 𝑤 ⟩}^{2} = 0 \\ ⟺ & ϕ = 𝜓 \\ ⟺ & 𝑣 = 𝑤 \end{matrix}

use $cosh ϕ = \frac{1}{2} (𝑒^{ϕ} + 𝑒^{- ϕ})$ 连续性

\begin{matrix} \forall 𝜀 > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall ϕ, 𝜓 \in ℝ \\ | ϕ - 𝜓 | < 𝛿 ⟹ dist (𝑣, 𝑤) < 𝜀 \end{matrix}

推广到 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} \subset ℝ^{1, 𝑛}$ , Euclidean $ℝ^{𝑛}$

Proof

use 测地线坐标

similar to $ℝ^{1, 1}$ , try to prove

\begin{matrix} {⟨ 𝑣 - 𝑤 ⟩}^{2} & = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - 2 ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \\ = & 2 (1 - cosh (| ϕ - 𝜓 |)) \\ \leq & 0 \end{matrix}

where

$ϕ, 𝜓$ 是 $𝑣, 𝑤$ 的测地线坐标
$| ϕ - 𝜓 |$ 是测地线坐标中的 Euclid 距离

球面 $𝕊^{𝑛}$ 的球极投影的基点在 $𝕊^{𝑛}$ 上. 需要两个以上的坐标卡覆盖全部 $𝕊^{𝑛}$

stereographic-projective-hyperbolic_(tag) time-like 双曲面 ${ℍ 𝕪}^{𝑛} (time)$ 考虑球极投影, 两个基点分别在两枝双曲面上, 且投影在光锥方向形成分隔的奇点

space-like 双曲面, 用 space-like 基点来定义双曲投影, 而且投影坐标卡是低一维的 Minkowski 空间

转换函数应该是 Minkowski 连续同胚?

对 $ℝ^{1, 2}$ 的情况进行 3d 作图, 画出基点的光锥 (注意是光锥是 "纵向" 的)

即使画图的直观可能难, 解析计算应该是不难的

$exph$ 可以推广到 $ℍ^{'} ≃ ℝ^{2, 2}$ and $𝕆^{'} ≃ ℝ^{4, 4}$ ?