一维可分离变量 ODE
where , 初值未定
Example
- .
- .
[exponential-of-vector-field] Question
let open in
向量场是解析函数
由向量场 生成的 exponential-of-vector-field 应该是 invariant 的
向量场的 Taylor 级数
polynomial like
或者加上
使得对应到 ODE
且 or 是局部微分同胚. 这是 ODE 和对称性的关系, i.e. Lie theory
如果将 也写为 , 则
Example
对比到一维的分离 ODE 的情况
compare , expect with
,
…
或者
Example [harmonic-oscillator]
谐振子 一阶化
with 三角情况
从而
或者写为复指数的形式
双曲情况类似
谐振子方程的特征多项式方程是 or . 我们对三角情况 pr 感兴趣, 其原型是 or
在谐振子 是实数值的情况, 对于复指数形式, 为了维持在 , 当 时, 前面的系数互为复共轭
- ,
compare , expect with
…
或者
Question
单参数同态嵌入
和初值 给出 .
is called flow. exp 道路发射状坐标
[vector-field-as-δ-diffeomorphism] 在 附近, 向量场是微分同胚群的坐标 , 类似于 geodesic-coordinate
ODE
wiki:Cauchy-Kovalevskaya_theorem, 收敛半径估计使用了特殊上界控制方法, 类似 inverse-analytic 中所作的
, ==>
[integral-curve] ODE 解的 Picard 迭代 (wiki) 表示 or 积分曲线 e.g.
如果是线性 ODE 则 (alias Dyson 级数)
线性 ODE. 常系数 ODE 的解可以写出 by 转为一阶微分方程组 + Jordan normal form
[Lie-bracket] Lie bracket
[Lie-derivative] Lie derivative alias drag derivative
let 生成单参数微分同胚
let
Jacobi identity or
可以对 tensor field 也定义 Lie derivative …
[linear-PDE-integrable-condition] 相关于二阶导数的对称性. 这个条件使得一阶线性 PDE 的解可以来自接连的 ODE 积分曲线, 且结果不依赖于道路的选取