常微分方程 - note-math

一维可分离变量 ODE

where , 初值未定

Example

[exponential-of-vector-field] Question

let open in

向量场是解析函数

如果你知道矩阵李群, 那么你应该知道李代数可以通过映射到李群

这对于对于解析函数也成立, 在解析拓扑收敛意义上, 应该生成局部解析同胚. 在处的值应该是

polynomial like

或者加上

使得对应到 ODE . 我们知道 ODE 理论也可以通过向量场给出局部微分同胚

Example

将纯向量场的结果对比到 ODE 积分曲线的结果, 会发现结果相同. 以常系数线性或一维分离 ODE 的情况为例

compare , expect with

Example [harmonic-oscillator]

谐振子一阶化

三角情况取

从而

或者写为复指数的形式

双曲情况取 , 类似

谐振子方程的特征多项式方程是 or . 我们对三角情况 or 感兴趣, 其原型是 or . 这给出了复数的一种动机

在谐振子是实数值函的情况, 在解的复指数表示中, 为了让结果维持在 , 当时, 前面的系数应该互为复共轭

compare , expect with

…

或者

[vector-field-as-δ-diffeomorphism] 在局部解析同胚附近, 向量场是局部解析同胚群的坐标 . 这类似于 geodesic-coordinate

ODE, 也是单参数同态嵌入

通常记

证明技术见 wiki:Cauchy-Kovalevskaya_theorem, 其中, 幂级数的收敛半径估计使用了特殊上界控制方法, 类似 inverse-analytic 中所作的

, ==>

[integral-curve] ODE 解的 Picard 迭代 (wiki) 表示 or 积分曲线 e.g.

时变向量场 ODE 是上的一种特殊的向量场

如果是时变线性 ODE 则 (alias Dyson 级数)

常系数 ODE 的解可以写为解析形式, by 将 ODE 转为关于的一阶常系数线性 ODE , 然后将矩阵写为 Jordan normal form

[Lie-bracket] Lie bracket

的共轭作用

假设生成 . 一阶微分是 , 而混合的二阶微分是 , 也可以理解为先后 , 这样中途会得到一个 "李群的线性表示"

注意, 交换的顺序后, 是不同的映射

for ,

[Lie-derivative] Lie derivative alias drag derivative

let 通过生成单参数微分同胚

let

Jacobi identity or

可以对 tensor field 也定义 Lie derivative …

[first-order-PDE-integrable-condition] alias [Frobenius-theorem] 将一阶 ODE 积分曲线推广到一阶 PDE 系统积分曲面, 此时需要向量场们展开的线性空间形成 Lie subalgebra, 或者用更一般的对合/可积子丛的概念. PDE 的解可以来自沿坐标方向的接连的 ODE 积分曲线, 且结果不依赖于道路的选取. 在一阶线性 PDE 系统的情况下, 可积条件变成坐标下二阶偏导数的对称性