1. notice
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note-math

幂级数 中的幂函数阶数不同, 引入了系数 的不对称性, 使得不一定适合级数重排? 虽然我们仍然会讨论绝对收敛

一维情况开始

几何级数

in ,

[convergence-radius-1d] 收敛半径

(cf. limsup)

==>

[absolute-convergence-analytic-1d]

==> 绝对收敛

Proof

use 几何级数判别 and

==> 绝对发散

Proof ==> 中无限项

[uniformaly-absolutely-convergence-analytic]

use . use 几何级数控制

in 半径 的闭球 , 一致绝对收敛

多项式函数 是连续函数

收敛半径内, 幂级数定义的函数

,

[analytic-imply-continuous]

==> 连续

将多项式的 change-base-point-polynomial 推广到级数

[change-base-point-analytic]

==> 幂级数 切换基点到 之后的幂级数

在 也有非零收敛半径 . 根据三角不等式,

Example

  • 的收敛半径是

  • 的收敛半径是

边界上的收敛问题

  • 的收敛半径是 , 在 处是调和级数 , 绝对发散

  • 的收敛半径是 , 在 绝对收敛到

  • 绝对收敛 vs 收敛: 在 收敛

现在考虑高维的情况. 幂级数

注意 对称性, 例如 的 , 的

将多项式函数 polynomial-function 推广到幂级数

不同于一维, 在高维, 一般没有 . 甚至还没有定义

[linear-map-induced-norm]

let

定义为对所有方向 的一致控制系数. compactness of 将会使得这种定义有意义 (and 无法直接用于一般 二次型方向空间 )

so that (for all direction)

and

和 情况比较, 的定义的可计算性低

[convergence-radius] 收敛半径

[absolute-convergence-analytic]

same as

  • ==> 绝对收敛

  • 存在方向 , forall , 绝对发散

Proof (of 发散)

use linear-map-induced-norm , 存在 使

use 定义, 中无限项

use passing to compact and 子序列收敛到

==> 中无限项

==> 中无限项

将 伸缩到

==>

let

==> 中无限项

另一种观点: 对每个方向 考虑 直线嵌入的收敛半径 . then let

类似一维 also have

  • uniformaly-absolutely-convergence-analytic

  • analytic-imply-continuous

  • change-base-point-analytic

for , 阶 差分 给出

替换

幂级数在收敛半径中一致绝对收敛, 从而可以交换极限

可以恢复 阶单项式

[differential]

阶微分

Example

差分和微分的定义可以用于任何函数, 不需要是由幂级数定义的函数

[polynomial-expansion] 多项式展开

alias 幂级数, Taylor 展开, Taylor 级数

[polynomial-approximation] 多项式逼近

alias Taylor 展开, Taylor 逼近, Taylor 多项式 [Taylor-expansion] [Taylor-approximation] [Taylor-polynomial]

[derivative] 微商 alias 导数, 方向导数

接连的差分和微商

逐次差分 不依赖于顺序 + 极限交换 ==>

[successive-derivative] 逐次微商

==> 幂级数的方向导数表示

逐次微商的概念使用了不同点的切向量的相减, 隐含地用到了 connection 的概念

[partial-derivative] 偏导数

使用坐标. let 是 的基. so 坐标 分量

and so on

let . use successive-derivative, partial-derivative

==> 幂级数的偏导数表示 (also cf. multi-combination)

when domain = ,

define 和对偶基 with

==> 微分的偏导数表示 as 对称张量的 系数–基 展开

when domain =

Example

let

, or

if use range space 坐标 那么一阶微分 表示为 Jacobi 矩阵 [Jacobi-matrix]

[differential-function] 微分函数

将值域 作为 linear space, 使用 power norm, 可以幂级数展开

[successive-differential]

isomorphism

with

same norm

same convergence radius (use )

Proof (draft) 导数的交换性 and . norm estimation

Abbreviation 尽管记号冲突

==> 微分函数的幂级数

[anti-derivative]

  • use

    ==> . 零阶项不确定

  • …

[mean-value-theorem-analytic-1d] 微分中值定理

  • 介值 ver.

  • compact 一致线性控制 ver.

Proof

use reduce to

==> Proof by 介值定理

介值定理使用了完整的 的序

绝对值估计所用的 的序可能没有足够的强度来得到微分中值定理

[fundamental-theorem-of-calculus] 微积分基本定理

微分中值定理 compact 一致线性控制 ver. + compact 分割一致逼近

[mean-value-theorem-analytic] 微分中值定理 for . 用嵌入的直线 reduce to 的情况

  • 一阶

by 微积分基本定理 and chain-rule-1d and

remainder estimation, 一致线性控制

  • 高阶

by 分部积分

remainder estimation, 一致 阶幂控制

let 幂级数

[convergence-domain] 在一点的收敛域 :=

计算幂级数的切换基点后的系数使用了求和的交换

for 多项式, 求和有限, 求和顺序交换, 从而切换基点良定义 change-base-point-polynomial

但是, 无限求和的极限, 如果不是绝对收敛, 并不总是兼容于求和顺序改变 series-rearrangement

幂级数切换基点可能导致收敛域改变

Example

with

收敛域是

切换基点导致收敛域改变

  • , ,

    收敛域 , 半径 的开球

  • ,

    收敛域 , 半径 的开球

不断切换基点可以 "改变" 收敛到的值

Example

let with

let 逐次切换基点 , 最后回到

if 每次位移 都在基点 的收敛域, 并使用幂级数极限

then 最终的幂级数是 , where 是 形成的道路绕 的圈数

  • . 绕 转 圈得到

绕 转 圈得到 , by

[analytic-continuation]

  • 良定义的延拓区域: 不受切换基点的影响

  • 极大延拓区域: 无法再良定义地延拓

Example

  • 收敛半径

不能良定义地延拓到 . by 绕 转 圈得到

极大良延拓区域是

  • 收敛半径

可以良定义地延拓到 , 重合于用 除法定义的

, or

  • 和 已经是极大延拓

的极大延拓是

的幂级数系数包含复数, 不同于 只包含实数

[analytic-function] 解析函数 := 幂级数任何点收敛半径非零 + 极大解析延拓

[analytic-isomorphism] 解析同胚 :=

  • 解析函数
  • same for

Example

  • 是解析同胚

==> , 单调增 ==> 是 解析同胚

, in 有解 ==> ==> 不是 解析同胚

  • with 是 解析同胚
with 是局部解析同胚, 但不是 解析同胚. 非单射:

尝试对幂级数空间定义距离. 启发自

三角不等式 Proof by 两边 power, 二项式展开

[power-series-space]

幂级数空间

网 (note: is linear-map-induced-norm)

(or )

距离

as 一致控制 for forall

幂级数空间是 distance 空间 and complete. Proof by 继承自 of forall

不是 norm, eg.

收敛半径的接近

==>

==>

==>

==>

==>

收敛的值的接近

[Sobolev-space] for Sobolev anayltic space, try use 几乎处处解析 + 作为控制函数去逼近目标函数 , where 是 的 [weak-differential] . (note: is linear-map-induced-norm) 或者只用带解析型积分 norm 限制的几乎处处解析空间, 或者对此空间进行积分 norm 的 Cauchy 网完备化

更弱的网控制

let

use data and new data

Example 包括 的截断多项式逼近, i.e. Taylor 多项式 by

至于解析函数空间的拓扑, 直观是, 逐点用幂级数之间的距离, 然后全局定义域用类似连续函数空间所使用的 compact-open topology 技术

出于对称性的考虑, 解析的定义应该不依赖于特定的幂级数展开基点

不同基点的幂级数距离控制对比

对基点 , 幂级数 with

同时切换基点到

系数估计

==>

关于 递减

==>

let

==>

继续, 有限次

let

==> 一点 的幂级数距离一致地控制区域 的幂级数距离

虽然这仍然无法保持解析延拓的良定义, e.g.

[analytic-space]

解析空间的网

let 解析, with domain

的 网

  • let

  • let and compact and 传递连通, i.e. for , 存在构造 连接

  • forall 解析 with property
    收敛域包含 ,

网的逼近方式: and

when 验证网的性质 " "

if 分离, 需要构造传递连通的 包含

一种可能的构造方式: compact 折线连接 , 使 的有界球覆盖道路每一点, use 有限覆盖

幂级数空间和解析空间处理 阶微分系数

阶微分系数基本没影响

一个基点的 系数的修改同时作用于其他基点, 且不影响 系数,

compare 解析空间的网 vs 连续函数空间的网 (should be something compact open topology?)

in 解析空间及其网

  • [inverse-op-continous-in-analytic-space] ==>

  • [compose-op-continous-in-analytic-space] and ==>

或者说, 算子都是解析空间的连续函数

same for linear , multiplication , inversion ?

Example

  • 仿射线性

收敛半径

任何基点的幂级数的一阶项都是 const

仿射线性空间内能定义一致距离

  • 多项式映射

收敛半径

多项式函数空间内无法定义一致距离

[connected-analytic] in 解析空间, 和 在不同的连通分支?

连通分支内奇点的性质在解析同胚下不变

[homotopy-analytic] 解析 同伦

[power-series-analytic-equivalent] 解析等价的幂级数 := 两个幂级数来自同一个解析函数在不同点的幂级数展开

[power-series-analytic-homotopy-equivalent] 解析同伦等价的幂级数 := 两个幂级数来自同一个解析函数同伦类在不同点的幂级数展开

然后可以幂级数之间的定义不等价版本的性质