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  129. 108. 旋量场杂项
  130. 109. 参考

note-math

使用 tensor-induced-quadratic-form 的交错化

遍历所有 , 正交基 with , 得到 signature

let . span <==>

Abbreviation

[quadratic-form-inequality-Euclidean] 内积不等式 (Euclidean). . i.e. or

[triangle-inequality-Euclidean] 三角不等式 (Euclidean)

  • Proof

  • Proof

  • 时更一般的不等式应该是 . 为简便起见, 暂时不使用这种更一般的假设

    对于 norm , 的 的下确界, 或者 对 的上确界, 是

    (Proof 先计算出 的一个上界, 然后证明它是确界. 用微分技术证明对 有 . 作用于 norm 的分量. 令 , 转为尝试计算 的最大值. 由于齐次性, 伸缩 不影响结果. 假设 . 用微分方法计算 的最大值, 得到上界 . 再用 嵌入的 说明可以取到, 于是 是上确界. 当 时, , 这使得正常的三角不等式不成立)

[Euclidean-space-topology] Euclidean 拓扑. 在 连续 :=

let

[closure] 闭包 :=

[closed-set] 闭集 :=

(open) closed(𝔹)

[open-set] 开集 :=

open <==> closed

[interval] 区间指 的子集 with property 序不中断

[best-interval-decomposition] 的最优区间分解

def as 所有区间的集合, 包括 open, closed, half open half closed, single point (这里不是定义拓扑, 也不需要推广到高维, 所以不需要限制为只有开区间)

def

由单点区间的存在, and

有 线序链. 对每个极大线序链取 都会继续得到区间. 这些区间的集合记为

and

的区间都是不相交的, 分解方式是唯一的, 于是这些区间组成 的最优区间分解

  • 当 时, 是区间, 连通
  • 当 时, 不连通. Example

如果 是闭集, 则 的区间都是闭区间

recall 的 linear-order 闭区间套的交集非空

[bounded-closed-interval-is-compact] 有界闭区间 ==> compact

Proof

假设 是有界闭区间, 是 的网

由于 是闭集, 故 的定义对 的拓扑都相同

由于 有界, 可以定义非空下确界集 和上确界集

根据网的性质 (或者使用相应的区间网 ), 可以证明 的数都 的数

有上界, 有下界, 于是可以取确界, 且满足

我们证明

取 , 证明

Proof

定义

因为

是闭集, 所以

所以

即

再证明

对每个 , 由于 是网, 所以存在 使得

从而 , 所以 且

并且 , 所以

由 选取的任意性, 我们有 是 的上界, 于是 , 也即

从而

由于 , 所以

由 选取的任意性, 有

于是

[compact-imply-subsequence-converge] compact ==> 序列 存在子序列收敛. 对 net 同理

Proof

组成网

compact ==>

let

use 闭包 的定义

let

==>

  • 单位闭球
  • 单位球面

[circle-is-compact] compact

Proof 连续

连续同构于 (quotient-topology) 连续同构于 i.e. 塌缩端点 (quotient-topology)

有界闭区间 compact ==> quotient compact. by quotient 保持 compact

[closed-ball-sphere-is-compact]

Proof

compact. 归纳假设 compact

  • compact

(画图) 连续. quotient 原点 后得到同构

compact. by product-topology-preserve-compact

compact

  • compact

用极坐标从 构造 , 经过 quotient, 得到 compact

另一种方法 边界 塌缩到一点得到 compact

Proof

将球面 映射到球面 and

球极投影

复合后的 映射加上 映射到 , 得到的 映射仍然连续, quotient 后是双射

射影空间 (Euclidean) compact. Proof

同理 (and )

[Euclidean-set-distance]

  • [bounded] 有界 :=
  • [unbounded] 无界 :=

is invariant

考虑到无穷远 的平移不变性, 使用球极投影技术

by 球极投影

平移不改变 的无穷远 (而只是 的共形映射, 共形群 )

in Euclidean topology of

  • 有界 <==> 远离 <==>
  • 无界 <==>

[Euclidean-space-compact-iff-bounded-closed] compact <==> 有界闭集

Proof

  • <==

有界闭集 对应到 的闭集且不包括

compact + closed-set-in-compact-space-is-compact ==> is compact in

从 topology 限制回到 subspace topology +

得到 compact

  • ==>
  • 闭集

let

组成 的网. 注意可能

  • compact ==>

==>

  • 有界
开球不包含 . 开球族 覆盖 . 取 有限覆盖, 仍然不包含

let be net of

[nested-closed-set-theorem] 的有界闭集套的交集非空. 其交集也是闭集, 可以理解为 线序链闭集套的最小元

[closed-net-theorem] 的有界闭集网的交集非空 Proof

将 闭集对应到 闭集, compact, 所以闭集套 or 闭集网交集非空. 有界使得不收敛到

[limit-distance-vanish-net] :=

or . 网的尾部有界

序列可以根据尾部组成网

[Cauchy-completeness-Euclidean]

in , limit-distance-vanish 网收敛于一点

有界闭集 = compact ==> let

limit-distance-vanish ==>

有些无穷维线性空间 e.g. Lebesgue-integrable , 有界闭集不能得到 compact 但是仍然满足 limit-distance-vanish 网收敛到一点

根据归纳, 有限求和 is 结合且交换. 但是这不保证无限求和 i.e.

let

  • 重排
  • 收敛到

则 可能不收敛或者收敛到其它值

compare

收敛 (not ==>) 绝对收敛

let 是序列

  • 收敛 ==>

    Proof

    ==> 由三角不等式

  • ==> 不收敛

任何序列 可以定义 使得

重排 不改变序列尾部行为

如果 , 重排不变

Proof

==>

==> (by )

==>

def

[series-rearrangement-absolutely-convergence-real] 绝对收敛 ==> 收敛且重排不变

Proof and use 收敛序列的运算

and ==> 且重排不变

Question norm 的情况 reduce to ?

调和级数 vs 说明, 会更接近一般收敛. 而 收敛更适合 Fourier 展开?

最后的可能性

[series-rearrangement-real]

let and

  • 收敛到
  • 不收敛到

Example

  • 收敛的情况
  • 不收敛的情况

Proof

  • 收敛到

. 意义: 是使得正求和大于 的最小自然数

. 意义: 是使得负求和小于 的最小自然数

依此类推, 穷尽所有

将 重排为

根据 的定义

根据 的定义

依此类推

==>

  • 收敛到

在 的处理中

将 改为

将 改为

  • 不收敛到

将 改为

将 改为

重排不变的级数也是绝对收敛级数

收敛 ==>

[series-rearrangement-absolutely-convergence]

let 是 序列

==> 收敛且重排不变

Proof

  • 收敛. by 用三角不等式 和 Cauchy 序列收敛

  • 重排不变

现在考虑 非绝对收敛的情况

def

由三角不等式 or 的 -norm, -norm, -norm 等价

  • 是线性子空间

let . 的 分量绝对收敛

考虑 的 分量

[series-rearrangement]

let

  • and ==> 在 分量收敛到 , 重排不变
  • . 在 分量重排不稳定

相同收敛模式的序列的正线性组合 with 保持它们的收敛模式