note-math

使用 #link(<tensor-induced-quadratic-form>)[] 的交错化

⟨ 𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘}, 𝑤_{1} \land \dots \land 𝑤_{𝑘} ⟩ = det ⟨ 𝑣_{𝑖}, 𝑤_{𝑗} ⟩

遍历所有 $𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}$ , 正交基 $𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}}$ with ${⟨ 𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}} ⟩}^{2} = {⟨ 𝑒_{𝑖_{1}} ⟩}^{2} \dots {⟨ 𝑒_{𝑖_{𝑘}} ⟩}^{2}$ , 得到 signature

let $𝑣, 𝑤 \in ℝ^{𝑛}$ . $𝑣, 𝑤$ span $ℝ^{2}$ <==> $𝑣 \land 𝑤 \neq 0$

Abbreviation $⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ ≔ ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩, {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} ≔ ⟨ 𝑣, 𝑣 ⟩, | 𝑣 | ≔ {({⟨ 𝑣 ⟩}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

quadratic-form-inequality-Euclidean_(tag) 内积不等式 (Euclidean). $0 \leq {⟨ 𝑣 \land 𝑤 ⟩}^{2} = det (\begin{matrix} {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} & ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \\ ⟨ 𝑤, 𝑣 ⟩ & {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \end{matrix}) = {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} - {⟨ 𝑤, 𝑣 ⟩}^{2}$ . i.e. ${⟨ 𝑤, 𝑣 ⟩}^{2} \leq {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} {⟨ 𝑤 ⟩}^{2}$ or $⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ \leq | 𝑣 | | 𝑤 |$

triangle-inequality-Euclidean_(tag) 三角不等式 (Euclidean)

$| 𝑣 + 𝑤 | \leq | 𝑣 | + | 𝑤 |$

Proof
$\begin{matrix} {⟨ 𝑣 + 𝑤 ⟩}^{2} & = & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + 2 ⟨ 𝑣, 𝑤 ⟩ + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ \geq & {⟨ 𝑣 ⟩}^{2} + 2 | 𝑣 | | 𝑤 | + {⟨ 𝑤 ⟩}^{2} \\ = & {(| 𝑣 | + | 𝑤 |)}^{2} \end{matrix}$
$| 𝑣 - 𝑤 | \geq | | 𝑣 | - | 𝑤 | |$

Proof
$\begin{matrix} | 𝑣 | & \leq & | 𝑣 - 𝑤 | + | 𝑤 | \\ | 𝑤 | & \leq & | 𝑣 - 𝑤 | + | 𝑣 | \end{matrix}$

Euclidean-space-topology_(tag) Euclidean $ℝ^{𝑑}$ 拓扑. $𝑓 : ℝ^{𝑑} \to ℝ^{𝑑^{'}}$ 在 $𝑎 \in ℝ^{𝑑}$ 连续 :=

\forall 𝜀 > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall 𝑥 : | 𝑥 - 𝑎 | < 𝛿, | 𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑎) | < 𝜀

let $𝐴 \subset ℝ^{𝑑}$

closure_(tag) 闭包 := $\bar{𝐴} = {𝑥 \in ℝ^{𝑑} : \inf_{𝑥 \in 𝐴} | 𝑥 - 𝑎 | = 0}$

closed-set_(tag) 闭集 := $\bar{𝐴} = 𝐴$

(open) closed(𝔹) $𝔹 (𝑎, 𝑟) ≔ {𝑥 \in ℝ^{𝑑} : | 𝑥 - 𝑎 | < 𝑟}$

open-set_(tag) 开集 $𝑈 \subset ℝ^{𝑑}$ := $\forall 𝑥 \in 𝑈, \exists 𝑟 > 0, 𝔹 (𝑥, 𝑟) \subset 𝑈$

$𝐴$ open <==> $𝐴^{∁}$ closed

interval_(tag) 区间指 $ℝ$ 的子集 $𝐼$ with property 序不中断

\underset{\begin{matrix} 𝑎, 𝑏 \in 𝐼 \\ 𝑎 \leq 𝑏 \end{matrix}}{⋀} \underset{\begin{matrix} 𝑥 \in ℝ \\ 𝑎 \leq 𝑥 \leq 𝑏 \end{matrix}}{⋀} 𝑥 \in 𝐼

best-interval-decomposition_(tag) $𝐴 \subset ℝ$ 的最优区间分解

def $Interval \subset Subset (ℝ)$ as 所有区间的集合, 包括 open, closed, half open half closed, single point

def $J (𝐴) ≔ {𝐼 \subset 𝐴 : 𝐼 \in Interval}$

由单点区间的存在, $J \neq \emptyset$ and $⋃ J = 𝐴$

$J (𝐴)$ 有 $\subset$ #link(<linear-order>)[线序链]. 对每个极大线序链取 $⋃$ 都会继续得到区间. 这些区间的集合记为 $I (𝐴)$

$I (𝐴) \neq \emptyset$ and $⨆ I (𝐴) = 𝐴$

$I$ 的区间都是不相交的, 分解方式是唯一的, 于是这些区间组成 $𝐴$ 的最优区间分解

当 $| I (𝐴) | = 1$ 时, $𝐴$ 是区间, 连通
当 $| I (𝐴) | > 1$ 时, $𝐴$ 不连通. Example $ℝ ∖ 0 = ℝ_{< 0} ⊔ ℝ_{> 0}, ℚ = ⨆_{𝑥 \in ℚ} {𝑥}$

如果 $𝐴$ 是闭集, 则 $I (𝐴)$ 的区间都是闭区间

recall $\subset$ 的 #link(<linear-order>)[] #link(<nested-closed-interval-theorem>)[闭区间套的交集非空]

bounded-closed-interval-is-compact_(tag) $ℝ$ 有界闭区间 ==> #link(<compact>)[]

Proof

let $B$ 是 $𝐴$ 的 #link(<net>)[]. let $𝐵 \in B$

由 $𝐴 \subset ℝ$ 有界闭, $\bar{𝐵} \subset 𝐴$

取最优闭区间分解 $\bar{𝐵} = ⨆ I (\bar{𝐵})$

对所有 $𝐵 \in B$ 的分解闭区间, 考虑任何 $\subset$ 极大线序链 #link(<maximal-linear-order>)[] $C$

根据 #link(<nested-closed-interval-theorem>)[], $\subset$ 线序的闭区间套的交集是非空闭区间 $⋂ C \neq \emptyset$

类似 #link(<closed-interval-net-theorem>)[] 的证明, 证明 $⋂ C$ 是极小的闭区间, 从而 $\subset$ 每个 $𝐵 \in B$

compact-imply-subsequence-converge_(tag) $𝐴$ compact ==> 序列 ${𝑥_{𝑛}} \subset 𝐴$ 存在子序列收敛. 对 net 同理

Proof

$𝐵_{𝑛} = {𝑥_{𝑛}, 𝑥_{𝑛 + 1}, \dots}$ 组成网 $B$

$𝐴$ compact ==> $⋂_{𝑛 \in ℕ} {\bar{𝐵}}_{𝑛} \neq \emptyset$

let $𝑥 \in ⋂_{𝑛 \in ℕ} {\bar{𝐵}}_{𝑛}$

use 闭包 ${\bar{𝐵}}_{𝑛}$ 的定义

𝑥 \in {\bar{𝐵}}_{𝑛} ⟺ \forall 𝜀_{𝑛} > 0, \exists 𝑖_{𝑛} > 𝑖_{𝑛 - 1}, | 𝑥_{𝑖_{𝑛}} - 𝑥 | < 𝜀_{𝑛}

let $𝜀_{𝑛} \to 0$

==> $\forall 𝜀 > 0, \exists 𝑁 \in ℕ, \forall 𝑛 > 𝑁, | 𝑥_{𝑖_{𝑛}} - 𝑥 | < 𝜀$

单位闭球 ${\bar{𝔹}}^{𝑛} ≔ {𝑥 \in ℝ^{𝑛} : 𝑥^{2} \leq 1}$
单位球面 $𝕊^{𝑛 - 1} ≔ {𝑥 \in ℝ^{𝑛} : 𝑥^{2} = 1}$

circle-is-compact_(tag) $𝕊^{1}$ compact

Proof $𝑒^{i 𝜃} : ℝ \to 𝕊^{1}$ 连续

$𝕊^{1}$ 连续同构于 $\frac{ℝ}{ℤ}$ (#link(<quotient-topology>)[]) 连续同构于 $\frac{{\bar{𝔹}}^{1}}{𝕊^{0}}$ i.e. $[- 1, 1] = {\bar{𝔹}}^{1}$ 塌缩端点 ${- 1, 1} = 𝕊^{0}$ (quotient-topology)

${\bar{𝔹}}^{1} = [- 1, 1]$ 有界闭区间 compact ==> quotient $𝕊^{1} = \frac{{\bar{𝔹}}^{𝑛}}{𝕊^{0}}$ compact. by #link(<quotient-topology-preserve-compact>)[quotient 保持 compact]

closed-ball-sphere-is-compact_(tag)

Proof

${\bar{𝔹}}^{1}, 𝕊^{1}$ compact. 归纳假设 ${\bar{𝔹}}^{𝑛}, 𝕊^{𝑛}$ compact

${\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1}$ compact

𝑓 : \begin{matrix} 𝕊^{𝑛} \times [0, 1] & ⟶ & {\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1} \\ (𝑥, 𝑟) & ⟿ & 𝑟 \cdot 𝑥 \end{matrix}

(画图) 连续. quotient 原点 $0 \in ℝ^{𝑛 + 1}$ 后得到同构

$𝕊^{𝑛} \times [0, 1]$ compact. by #link(<product-topology-preserve-compact>)[]

$\frac{𝕊^{𝑛} \times [0, 1]}{{0 \in ℝ^{𝑛 + 1}}} ≃ {\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1}$ compact

$𝕊^{𝑛 + 1}$ compact

用极坐标从 $𝕊^{𝑛}$ 构造 $𝕊^{𝑛 + 1}$ , 经过 quotient, 得到 $𝕊^{𝑛 + 1}$ compact

另一种方法 ${\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1}$ 边界 $𝕊^{𝑛}$ 塌缩到一点得到 $\frac{{\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1}}{𝕊^{𝑛}} ≃ 𝕊^{𝑛 + 1}$ compact

Proof

$\frac{1}{1 - | 𝑥 |^{2}} 𝑥 : 𝔹^{𝑛 + 1} \leftrightarrow ℝ^{𝑛 + 1}$ 将球面 $𝕊 (| 𝑥 |)$ 映射到球面 $𝕊^{\frac{| 𝑥 |}{1 - | 𝑥 |^{2}}}$ and $\frac{𝑟}{1 - 𝑟^{2}} : [0, 1) \leftrightarrow ℝ_{\geq 0}$

球极投影 $ℝ^{𝑛 + 1} \leftrightarrow 𝕊^{𝑛 + 1} ∖ 𝑁$

复合后的 $𝔹^{𝑛 + 1} \to 𝕊^{𝑛 + 1} ∖ 𝑁$ 映射加上 $\partial {\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1} = 𝕊^{𝑛}$ 映射到 $𝑁$ , 得到的 ${\bar{𝔹}}^{𝑛 + 1} \to 𝕊^{𝑛 + 1}$ 映射仍然连续, quotient 后是双射

射影空间 (Euclidean) compact. Proof ${ℝ ℙ}^{𝑛} ≔ \frac{ℝ^{𝑛 + 1}}{{𝑘 𝑥}} ≃ \frac{𝕊^{𝑛}}{{\pm 𝑥}}$

同理 ${ℂ ℙ}^{𝑛}$ (and $ℍ ℙ, 𝕆 ℙ$ )

Euclidean-set-distance_(tag) $| 𝐴 | ≔ \sup_{𝑥, 𝑦 \in 𝐴} | 𝑥 - 𝑦 |$

bounded_(tag) 有界 := $| 𝐴 | < \infty$
unbounded_(tag) 无界 := $| 𝐴 | = \infty$

$| 𝐴 |$ is $SO (𝑛) ⋊ ℝ^{𝑛}$ invariant

$ℝ ⊔ {\infty} ≃ 𝕊^{𝑛}$ by 球极投影

平移不改变 $ℝ^{𝑛} ⊔ {\infty}$ 的无穷远 $\infty$ (而只是 $ℝ^{𝑛} ⊔ {\infty} ≃ 𝕊^{𝑛}$ 的共形映射, 共形群 $SO (1, 𝑛)$ )

in Euclidean topology of $ℝ^{𝑛} ⊔ {\infty} ≃ 𝕊^{𝑛}$

有界 <==> 远离 $\infty$ <==> $\infty \notin \bar{𝐴}$
无界 <==> $\infty \in \bar{𝐴}$

Euclidean-space-compact-iff-bounded-closed_(tag) $𝐴 \subset ℝ^{𝑛}$ compact <==> $𝐴$ 有界闭集

Proof

$ℝ^{𝑛}$ 有界闭集 $𝐴$ 对应到 $ℝ^{𝑛} ⊔ {\infty}$ 的闭集且不包括 $\infty$

$𝕊^{𝑛}$ compact + #link(<closed-set-in-compact-space-is-compact>)[] ==> $𝐴$ is compact in $𝕊^{𝑛}$

从 $ℝ^{𝑛} ⊔ {\infty}$ topology 限制回到 subspace $ℝ^{𝑛}$ topology + $𝐴 \subset ℝ^{𝑛}$

得到 $𝐴$ compact

闭集

let $𝑥 \in \bar{𝐴}$

$𝔹 (𝑥, 𝑟) \cap 𝐴$ 组成 $𝐴$ 的网. 注意可能 $𝑥 \notin 𝔹 (𝑥, 𝑟) \cap 𝐴$

compact ==> $\emptyset \neq ⋂_{𝑟 > 0} \bar{𝔹} (𝑥, 𝑟) \cap 𝐴 \subset 𝐴$
$⋂_{𝑟 > 0} \bar{𝔹} (𝑥, 𝑟) = 𝑥$

==> $\emptyset \neq {𝑥} \cap 𝐴 ⟹ 𝑥 \in 𝐴$

有界

ℝ^{𝑑}

开球不包含

\infty

. 开球族

{𝔹 (𝑥, 𝑟) \subset ℝ^{𝑛} : (𝑥 \in 𝐴) \land (𝑟 > 0)}

覆盖

𝐴

. 取 #link(<compact-finite-open-cover>)[有限覆盖], 仍然不包含

\infty

let $B$ be net of $ℝ^{𝑛}$

nested-closed-set-theorem_(tag) $ℝ^{𝑛}$ 的有界闭集套的交集非空. 其交集也是闭集, 可以理解为 $\subset$ 线序链闭集套的最小元

closed-net-theorem_(tag) $ℝ^{𝑛}$ 的有界闭集网的交集非空 Proof

将

ℝ^{𝑛}

闭集对应到

ℝ^{𝑛} ⊔ {\infty} ≃ 𝕊^{𝑛}

闭集,

𝕊^{𝑛}

compact, 所以闭集套 or 闭集网交集非空. 有界使得不收敛到

\infty

limit-distance-vanish-net_(tag) := $lim_{𝐵 \in B} | 𝐵 | = 0$

or $\forall 𝜀 > 0, \exists 𝐵 \in B, | 𝐵 | < 𝜀$ . 网的尾部有界

序列可以根据尾部组成网 $𝐵_{𝑛} = {𝑥_{𝑛}, 𝑥_{𝑛 + 1}, \dots}$