1. notice
  3. 中文
  4. 1. feature
  6. 逻辑
  7. 2. 逻辑
  8. 3. 集合论
  9. 4. 映射
  10. 5. 序
  11. 6. 组合
  13. 微积分
  14. 7. 实数
  15. 8. 数列极限
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  17. 10. Euclidean 空间
  18. 11. Minkowski 空间
  19. 12. 多项式
  20. 13. 解析 (Euclidean)
  21. 14. 解析 (Minkowski)
  22. 15. 解析 struct 的操作
  23. 16. 常微分方程
  24. 17. 体积
  25. 18. 积分
  26. 19. 散度
  27. 20. 网极限
  28. 21. 紧致
  29. 22. 连通
  30. 23. 拓扑 struct 的操作
  31. 24. 指数函数
  32. 25. 角度
  34. 几何
  35. 26. 流形
  36. 27. 度规
  37. 28. 度规的联络
  38. 29. Levi-Civita 导数
  39. 30. 度规的曲率
  40. 31. Einstein 度规
  41. 32. 常截面曲率
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. 主丛
  44. 35. 群作用
  45. 36. 球极投影
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  49. 38. 非相对论点粒子
  50. 39. 相对论点粒子
  51. 40. 纯量场
  52. 41. 纯量场的守恒流
  53. 42. 非相对论纯量场
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  55. 44. 时空动量的自旋表示
  56. 45. Lorentz 群
  57. 46. 旋量场
  58. 47. 旋量场的守恒流
  59. 48. 电磁场
  60. 49. 张量场的 Laplacian
  61. 50. Einstein 度规
  62. 51. 相互作用
  63. 52. 谐振子量子化
  64. 53. 旋量场杂项
  65. 54. 参考
  67. English
  68. 55. notice
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  72. 57. logic
  73. 58. set-theory
  74. 59. map
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  78. calculus
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  86. 69. analytic-Minkowski
  87. 70. analytic-struct-operation
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  115. 94. point-particle-relativity
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  118. 97. scalar-field-non-relativity
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  123. 102. spinor-field-current
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  128. 107. harmonic-oscillator-quantization
  129. 108. spinor-field-misc
  130. 109. reference

note-math

使用 tensor-induced-quadratic-form 的交错化

遍历所有 , 正交基 with , 得到 signature

let . span <==>

Abbreviation

[quadratic-form-inequality-Euclidean] 内积不等式 (Euclidean). . i.e. or

[triangle-inequality-Euclidean] 三角不等式 (Euclidean)

  • Proof

  • Proof

[Euclidean-space-topology] Euclidean 拓扑. 在 连续 :=

let

[closure] 闭包 :=

[closed-set] 闭集 :=

(open) closed(𝔹)

[open-set] 开集 :=

open <==> closed

[interval] 区间指 的子集 with property 序不中断

[best-interval-decomposition] 的最优区间分解

def as 所有区间的集合, 包括 open, closed, half open half closed, single point

def

由单点区间的存在, and

有 线序链. 对每个极大线序链取 都会继续得到区间. 这些区间的集合记为

and

的区间都是不相交的, 分解方式是唯一的, 于是这些区间组成 的最优区间分解

  • 当 时, 是区间, 连通
  • 当 时, 不连通. Example

如果 是闭集, 则 的区间都是闭区间

recall 的 linear-order 闭区间套的交集非空

[bounded-closed-interval-is-compact] 有界闭区间 ==> compact

Proof

let 是 的 net. let

由 有界闭,

取最优闭区间分解

对所有 的分解闭区间, 考虑任何 极大线序链 maximal-linear-order

根据 nested-closed-interval-theorem, 线序的闭区间套的交集是非空闭区间

类似 closed-interval-net-theorem 的证明, 证明 是极小的闭区间, 从而 每个

[compact-imply-subsequence-converge] compact ==> 序列 存在子序列收敛. 对 net 同理

Proof

组成网

compact ==>

let

use 闭包 的定义

let

==>

  • 单位闭球
  • 单位球面

[circle-is-compact] compact

Proof 连续

连续同构于 (quotient-topology) 连续同构于 i.e. 塌缩端点 (quotient-topology)

有界闭区间 compact ==> quotient compact. by quotient 保持 compact

[closed-ball-sphere-is-compact]

Proof

compact. 归纳假设 compact

  • compact

(画图) 连续. quotient 原点 后得到同构

compact. by product-topology-preserve-compact

compact

  • compact

用极坐标从 构造 , 经过 quotient, 得到 compact

另一种方法 边界 塌缩到一点得到 compact

Proof

将球面 映射到球面 and

球极投影

复合后的 映射加上 映射到 , 得到的 映射仍然连续, quotient 后是双射

射影空间 (Euclidean) compact. Proof

同理 (and )

[Euclidean-set-distance]

  • [bounded] 有界 :=
  • [unbounded] 无界 :=

is invariant

by 球极投影

平移不改变 的无穷远 (而只是 的共形映射, 共形群 )

in Euclidean topology of

  • 有界 <==> 远离 <==>
  • 无界 <==>

[Euclidean-space-compact-iff-bounded-closed] compact <==> 有界闭集

Proof

  • <==

有界闭集 对应到 的闭集且不包括

compact + closed-set-in-compact-space-is-compact ==> is compact in

从 topology 限制回到 subspace topology +

得到 compact

  • ==>
  • 闭集

let

组成 的网. 注意可能

  • compact ==>

==>

  • 有界
开球不包含 . 开球族 覆盖 . 取 有限覆盖, 仍然不包含

let be net of

[nested-closed-set-theorem] 的有界闭集套的交集非空. 其交集也是闭集, 可以理解为 线序链闭集套的最小元

[closed-net-theorem] 的有界闭集网的交集非空 Proof

将 闭集对应到 闭集, compact, 所以闭集套 or 闭集网交集非空. 有界使得不收敛到

[limit-distance-vanish-net] :=

or . 网的尾部有界

序列可以根据尾部组成网

[Cauchy-completeness-Euclidean]

in , limit-distance-vanish 网收敛于一点

根据闭集网定理 ==> let

limit-distance-vanish ==>

有些无穷维线性空间 e.g. Lebesgue-integrable , 有界闭集不能得到 compact 但是仍然满足 limit-distance-vanish 网收敛到一点

根据归纳, 有限求和 is 结合且交换. 但是这不保证无限求和 i.e.

let

  • 重排
  • 收敛到

则 可能不收敛或者收敛到其它值

compare

收敛 (not ==>) 绝对收敛

let 是序列

  • 收敛 ==>

    Proof

    ==> 由三角不等式

  • ==> 不收敛

任何序列 可以定义 使得

重排 不改变序列尾部行为

如果 , 重排不变

Proof

==>

==> (by )

==>

def

[series-rearrangement-absolutely-convergence-real] 绝对收敛 ==> 收敛且重排不变

Proof and use 收敛序列的运算

and ==> 且重排不变

Question norm 的情况 reduce to ?

调和级数 vs 说明, 会更接近一般收敛. 而 收敛更适合 Fourier 展开?

最后的可能性

[series-rearrangement-real]

let and

  • 收敛到
  • 不收敛到

Example

  • 收敛的情况
  • 不收敛的情况

Proof

  • 收敛到

. 意义: 是使得正求和大于 的最小自然数

. 意义: 是使得负求和小于 的最小自然数

依此类推, 穷尽所有

将 重排为

根据 的定义

根据 的定义

依此类推

==>

  • 收敛到

在 的处理中

将 改为

将 改为

  • 不收敛到

将 改为

将 改为

重排不变的级数也是绝对收敛级数

收敛 ==>

[series-rearrangement-absolutely-convergence]

let 是 序列

==> 收敛且重排不变

Proof

  • 收敛. by 用三角不等式 和 Cauchy 序列收敛

  • 重排不变

现在考虑 非绝对收敛的情况

def

由三角不等式 or 的 -norm, -norm, -norm 等价

  • 是线性子空间

let . 的 分量绝对收敛

考虑 的 分量

[series-rearrangement]

let

  • and ==> 在 分量收敛到 , 重排不变
  • . 在 分量重排不稳定

相同收敛模式的序列的正线性组合 with 保持它们的收敛模式