note-math

cf. #link(<massless-spinor-Lagrangian>)[旋量场的作用量]

spinor-current-translation-of-spacetime

massless spinor Lagrangian

\begin{matrix} 𝐿 (ϕ, \partial_{𝑥} ϕ) & = & ϕ^{†} {\partial_{spin}}^{◊} ϕ \\ = & ϕ^{†} 𝜎^{𝜇} \partial_{𝜇}^{◊} ϕ \end{matrix}

massive spinor Lagrangian

\begin{matrix} 𝐿 ((\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}), \partial_{𝑥} (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})) & = & {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} i {\partial_{spin}}^{◊} & - 𝑚 𝟙 \\ - 𝑚 𝟙 & i \partial_{spin} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) \\ = & i \cdot (ϕ^{†} 𝜎^{𝜇} \partial_{𝜇}^{◊} ϕ + 𝜓^{†} 𝜎^{𝜇} \partial_{𝜇} 𝜓) - 𝑚 ((ϕ^{†} 𝜓 + 𝜓^{†} ϕ)) \end{matrix}

由于旋量场作用量起作用的只有 $Re$ 部分, 所以也可以使用 $Re$ 型理论

类似于 #link(<energy-momentum-tensor-KG>)[scalar field 的情况], 尝试计算 energy-momentum-tensor

spinor eq 的解 ${\partial_{spin}}^{◊} ϕ = 0$ or $(\begin{matrix} i {\partial_{spin}}^{◊} & - 𝑚 𝟙 \\ - 𝑚 𝟙 & i \partial_{spin} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) = 0$ 使得 $𝐿 (ϕ, \partial_{𝑥} ϕ) = 0$

𝑇_{𝜈}^{𝜇} = \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝜇} ϕ)} \cdot \partial_{𝜈} ϕ

$𝐿 (ϕ, \partial_{𝑥} ϕ) = ϕ^{†} i {\partial_{spin}}^{◊} ϕ$ ==> energy-momentum-tensor-massless-spinor_(tag)

𝑇 = ϕ^{†} (𝜎 i \partial^{◊}) ϕ

or 分量形式

𝑇_{𝜈}^{𝜇} = ϕ^{†} (𝜎^{𝜇} i \partial_{𝜈}^{◊}) ϕ

对于 massive, 质量项对 $\partial_{𝜇}$ 的微分是零 + 仍然有解的作用量是零 $𝐿 = 0$ , 使得能动张量不受质量项影响

energy-momentum-tensor-massive-spinor_(tag)

𝑇 = {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 𝜎 i \partial^{◊} \\ 𝜎 i \partial \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})

or 分量形式

𝑇_{𝜈}^{𝜇} = {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} i 𝜎^{𝜇} \partial_{𝜈}^{◊} \\ i 𝜎^{𝜇} \partial_{𝜈} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})

都是散度零的量 $\partial^{†} 𝑇 = \partial_{𝜇} 𝑇_{𝜈}^{𝜇} = 0$

spinor-energy

固定 $ℝ^{1, 3}$ 坐标, 认为 $𝑇_{𝜇}^{0} = ϕ^{†} i \partial_{𝜇}^{◊} ϕ$ 是可 $ℝ^{3}$ 积分的量. 定义 energy for massless-spinor

\begin{matrix} 𝐸 = \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑇_{0}^{0}) & = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (ϕ^{†} i \partial_{0} ϕ) \end{matrix}

类似于 #link(<conserved-spatial-integral-energy-KG>)[纯量场的情况], time invariant $\partial_{0} 𝐸 = 0$ by $\partial^{†} 𝑇 = \partial_{𝜇} 𝑇_{𝜈}^{𝜇} = 0$

Example 平面波, 类似于纯量场的情况

massive-spinor energy

\begin{matrix} 𝐸 = \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑇_{0}^{0}) & = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} i \partial_{0} (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) \end{matrix}

spinor-current-rotation-boost-of-spacetime

用微分的 product rule, 分开两部分

domain 微分部分仍然是类似 #link(<angular-momentum-KG>)[scalar field 的情况]

𝑀 = [𝑥, 𝑇]

𝑀 = ϕ^{†} [𝑥, 𝜎 i \partial^{◊}] ϕ

𝑀_{𝜇 𝜈}^{𝜆} = ϕ^{†} [𝑥_{𝜇}, 𝜎^{𝜆} i \partial_{𝜈}^{◊}] ϕ

codomain 微分部分

Lorentz-Lie-algebra $so (1, 3)$ 给出的 δ diffeomorphism 是 $\frac{1}{4} {[𝜎_{𝜇}, 𝜎_{𝜈}]}_{◊} ϕ (𝑥)$ . (cf. #link(<square-root-of-Lorentz-Lie-algebra>)[])

0 = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 ({(\frac{1}{4} {[𝜎_{𝜇}, 𝜎_{𝜈}]}_{◊} ϕ)}^{†} i {\partial_{spin}}^{◊} ϕ + ϕ^{†} (𝜎^{𝜆} i \partial_{𝜆}^{◊}) (\frac{1}{4} {[𝜎_{𝜇}, 𝜎_{𝜈}]}_{◊} ϕ))

${\partial_{spin}}^{◊} ϕ = 0$ + product rule + $𝜎^{𝜆} \partial_{𝜆}^{◊} = 𝜎^{𝜆 ◊} \partial_{𝜆}$ 得到

0 = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\partial_{𝜆} (i ϕ^{†} 𝜎^{𝜆 ◊} \frac{1}{4} {[𝜎_{𝜇}, 𝜎_{𝜈}]}_{◊} ϕ))

forall $𝑈 \subset ℝ^{1, 3}$ ==> 被积项是零 ==> 散度零量 $\partial^{†} 𝑆 = \partial_{𝜆} 𝑆_{𝜇 𝜈}^{𝜆} = 0$

𝑆_{𝜇 𝜈}^{𝜆} ≔ i ϕ^{†} (𝜎^{◊} \frac{1}{4} {[𝜎, 𝜎]}_{◊}) ϕ

𝑆 = i ϕ^{†} (𝜎^{◊} \frac{1}{4} {[𝜎, 𝜎]}_{◊}) ϕ

spinor-angular-momentum_(tag)

domain codomain 的角动量合起来, spinor-angular-momentum is

𝐽 = 𝑀 + 𝑆 = i ϕ^{†} 𝜎^{◊} ([𝑥, \partial] + \frac{1}{4} {[𝜎, 𝜎]}_{◊}) ϕ

𝐽_{𝜇 𝜈}^{𝜆} = i ϕ^{†} 𝜎^{𝜆 ◊} ([𝑥_{𝜇}, \partial_{𝜈}] + \frac{1}{4} {[𝜎_{𝜇}, 𝜎_{𝜈}]}_{◊}) ϕ

massive-spinor 的情况类似. 应该可以通过计算证明角动量不受质量项影响

\begin{matrix} 𝐽 & = & 𝐿 + 𝑆 = i \cdot {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 𝜎^{◊} ([𝑥, \partial] + \frac{1}{4} {[𝜎, 𝜎]}_{◊}) \\ 𝜎 ([𝑥, \partial] + \frac{1}{4} {[𝜎, 𝜎]}_{◊}) \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) \end{matrix}

current-gauge-spinor

let $ϕ (𝑥)$ 是 spinor eq 的解. 相位改变 $𝑒^{𝜃 (𝑥)} ϕ (𝑥)$ 及其 δ 改变 $𝜃 ϕ$ 属于解附近的边界固定变分, 所以

\begin{matrix} 0 & = & \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 (- 𝜃 ϕ^{†} i {\partial_{spin}}^{◊} ϕ + ϕ^{†} i {\partial_{spin}}^{◊} (𝜃 ϕ)) \\ = \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 ((i ϕ^{†} 𝜎^{◊} ϕ) \cdot \partial 𝜃) \end{matrix}

使用 product rule + 散度零量 + 边界零

0 = \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 (\partial^{†} (i ϕ^{†} 𝜎^{◊} ϕ) \cdot 𝜃)

for all $Im (ℂ)$ value function $𝜃 (𝑥)$ , so

\forall 𝑥 \in ℝ^{1, 3}, \partial^{†} (i ϕ^{†} 𝜎^{◊} ϕ) = \partial_{𝜇} (i ϕ^{†} 𝜎^{𝜇 ◊} ϕ) (𝑥) = 0

current-gauge-spinor_(tag) $𝑗 = i ϕ^{†} 𝜎^{◊} ϕ, \partial^{†} 𝑗 = 0$ 被称为 4 电流 of massless-spinor

类似地, massive-spinor 的情况, 4 电流是 $i \cdot {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 𝜎^{◊} \\ 𝜎 \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})$

conserved-spatial-integral-charge-spinor_(tag) 固定 $ℝ^{1, 3}$ 坐标, 认为 $𝑗$ 是可 $ℝ^{3}$ 积分的量

time invariant $\partial_{0} \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑗^{0}) = 0$ by $\partial^{†} 𝑇 = 0$

\begin{matrix} \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑗^{0}) & = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (i ϕ^{†} 𝜎^{0} ϕ) \\ = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (i ϕ^{†} ϕ) \\ = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 | ϕ |^{2} i \end{matrix}

实际上可以选取一个时空分解坐标 $ℝ^{1, 3}$ 将 spinor eq 写成电荷量 unitary 演化的形式 $i \partial_{0} ϕ = - i 𝜎^{𝑖 ◊} \partial_{𝑖} ϕ = i 𝜎^{𝑖} \partial_{𝑖} ϕ$ 其中 $- i 𝜎^{𝑖 ◊} \partial_{𝑖}$ 对于 $ℂ^{2}$ 二次型 + $ℝ^{3}$ 积分 self-adjoint

(丢弃 $i$ 之后) 电荷量 alias 概率密度 or 粒子数密度 or 电荷密度

massive-spinor 的情况是

\begin{matrix} \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (i \cdot {(\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 𝜎^{0 ◊} \\ 𝜎^{0} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})) \\ = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (| ϕ |^{2} + | 𝜓 |^{2}) i \end{matrix}

类似 massless 的情况, 可以将 spinor eq 写成电荷量 unitary 演化的形式

i \partial_{0} (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) = ((\begin{matrix} i 𝜎^{𝑖} \partial_{𝑖} \\ - i 𝜎^{𝑖} \partial_{𝑖} \end{matrix}) + 𝑚 (\begin{matrix} 𝟙 \\ 𝟙 \end{matrix})) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})

conserved-current on mainfold …