1. notice
  3. 中文
  4. 1. feature
  6. 逻辑
  7. 2. 逻辑
  8. 3. 集合论
  9. 4. 映射
  10. 5. 序
  11. 6. 组合
  13. 微积分
  14. 7. 实数
  15. 8. 数列极限
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean 空间
  18. 11. Minkowski 空间
  19. 12. 多项式
  20. 13. 解析 (Euclidean)
  21. 14. 解析 (Minkowski)
  22. 15. 解析 struct 的操作
  23. 16. 常微分方程
  24. 17. 体积
  25. 18. 积分
  26. 19. 散度
  27. 20. 网极限
  28. 21. 紧致
  29. 22. 连通
  30. 23. 拓扑 struct 的操作
  31. 24. 指数函数
  32. 25. 角度
  34. 几何
  35. 26. 流形
  36. 27. 度规
  37. 28. 度规的联络
  38. 29. Levi-Civita 导数
  39. 30. 度规的曲率
  40. 31. Einstein 度规
  41. 32. 常截面曲率
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. 主丛
  44. 35. 群作用
  45. 36. 球极投影
  46. 37. Hopf 丛
  48. 场论
  49. 38. 非相对论点粒子
  50. 39. 相对论点粒子
  51. 40. 纯量场
  52. 41. 纯量场的守恒流
  53. 42. 非相对论纯量场
  54. 43. 光锥射影
  55. 44. 时空动量的自旋表示
  56. 45. Lorentz 群
  57. 46. 旋量场
  58. 47. 旋量场的守恒流
  59. 48. 电磁场
  60. 49. 张量场的 Laplacian
  61. 50. Einstein 度规
  62. 51. 相互作用
  63. 52. 谐振子量子化
  64. 53. 旋量场杂项
  65. 54. 参考
  67. English
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. logic-topic
  72. 57. logic
  73. 58. set-theory
  74. 59. map
  75. 60. order
  76. 61. combinatorics
  78. calculus
  79. 62. real-numbers
  80. 63. limit-sequence
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean-space
  83. 66. Minkowski-space
  84. 67. polynomial
  85. 68. analytic-Euclidean
  86. 69. analytic-Minkowski
  87. 70. analytic-struct-operation
  88. 71. ordinary-differential-equation
  89. 72. volume
  90. 73. integral
  91. 74. divergence
  92. 75. limit-net
  93. 76. compact
  94. 77. connected
  95. 78. topology-struct-operation
  96. 79. exponential
  97. 80. angle
  99. geometry
  100. 81. manifold
  101. 82. metric
  102. 83. metric-connection
  103. 84. geodesic-derivative
  104. 85. curvature-of-metric
  105. 86. Einstein-metric
  106. 87. constant-sectional-curvature
  107. 88. simple-symmetric-space
  108. 89. principal-bundle
  109. 90. group-action
  110. 91. stereographic-projection
  111. 92. Hopf-bundle
  113. field-theory
  114. 93. point-particle-non-relativity
  115. 94. point-particle-relativity
  116. 95. scalar-field
  117. 96. scalar-field-current
  118. 97. scalar-field-non-relativity
  119. 98. projective-lightcone
  120. 99. spacetime-momentum-spinor-representation
  121. 100. Lorentz-group
  122. 101. spinor-field
  123. 102. spinor-field-current
  124. 103. electromagnetic-field
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  126. 105. Einstein-metric
  127. 106. interaction
  128. 107. harmonic-oscillator-quantization
  129. 108. spinor-field-misc
  130. 109. reference

note-math

[sequence-real] 实数列 := . 通常记为 . 根据情况, 设置从 开始或从 开始

[limit-sequence-real] 数列 极限

极限的运算

[rational-dense-in-real] 在 的稠密性.

Proof

等价于

精确到最多差一点之下, 有

so

==>

==>

  • or

Proof and

==>

[geometric-series] 几何级数 .

Proof ,

[geometric-series-test] 几何级数收敛判别. let .

Proof

[exponential-vs-power] 指数增长快于幂.

Proof define

use 几何级数收敛判别

[exponential-root-of-power-function]

Proof

==>

Proof

时 by

时用

[factorial-vs-exponential-1] 阶乘增长快于指数.

Proof define . use 几何级数收敛判别

对应 自双射数量, 对应 自映射数量. 等类似

[iterated-power-vs-factorial]

Proof define . use 几何级数收敛判别

增长速度比较, 实数版本

  • with

[mean-inequality] 均值不等式 alias [AM-GM-inequality]

取得 <==>

无量纲

Proof

<==>

<==>

用微分方法计算最值. 考虑函数

一阶微分

一阶微分等于零, 解方程得到

二阶微分

判断二次型 的正定性

乘法因子可以提取出来

都是 的 阶项多项式, 且一阶微分零使得 所以对于判断正定性来说只需考虑 , 二次型

所以 处一阶微分零 and 二阶微分 (半) 正定, 函数在附近不会变小, 所以那里是最小值, 且是

[best-multiplication-decomposition] 最优乘法分解

forall 固定

question: which 使得 取最大?

对每个 , 根据均值不等式, 应该用加法等分 取得 最大

等分次数 取什么时, 有最大值?

单调递增

Proof

函数

  • 在 时递增

  • 在 时递减

所以 在 附近取最大

Proof of 单调性质

Example . 所以 时, 等分是最佳

i.e.

[natural-constant] 自然常数

尽管两个极限的形式看起来如此不同

Proof

二项式展开

固定 时, 有

对每个

also

by

所以

收敛. ==> 在尾部 几何级数控制

[factorial-function-1]

阶乘函数 的无限乘积定义. 不是用减法方向而是用加法方向

==>

with

有时用等价的 会更方便

为了证明收敛, 一种方法是用 将无限乘积转为无限加法. 用技巧

用 Taylor 展开

  • 用阶乘函数的性质可以证明 cf. Euler-reflection-formula. 这里只证明收敛

    收敛, for and for

    称为 Riemann Zeta 函数

  • 是 Euler gamma 常数 [Euler-constant]

as 加法渐进. as 乘法渐进

Proof

let

可以用 和 收敛

也可以用积分估计

有界

单调减

[Euler-reflection-formula] Euler 反射公式 or

用代数基本定理的可数推广, wiki:Weierstrass_因式分解定理

用

的零点是 . 的零点是 , 对应到 的零点

, 展开为幂级数, 的系数是

对比 在 的 Taylor 展开的 的系数

特别地

从而

并且得到 [Wallis-formula]

[factorial-function-2]

根据 Euler 的洞察, 阶乘函数的积分定义是, 对 然后对 (且可能对其它 normed-algebra)

两种 的定义是等价的, 但这不是显然的. 从 到 的延拓不是唯一的, 因为可以加上在 上取值 的解析函数来保持对 的延拓, 例如加上函数

(ref-25, vol.2, sect.Euler-integral) 函数序列 在 上单调递增收敛且一致收敛到 . 交换级数和积分

变量替换 可以得到另一种积分表示

[Gaussian-integral] 变量替换 or 则

我们已经用 Euler 反射公式得到 . 也可以用极坐标方法

[iterated-power-vs-factorial-2]

阶乘与叠幂的增长速度比较

so , so

Proof of

def

def

[sequence-multiplication-mean-limit] 乘法平均不改变极限

Proof

[sequence-addition-mean-limit] 加法平均

[harmonic-series-diverge] 调和级数发散

Proof 发散 by 它不是 limit-distance-vanish. e.g.

[iterated-power-vs-factorial-3] [Stirling-approximation]

使用技巧

Taylor 展开

我们知道

(ref-26) 最后一项

所以 or

(ref-27) 变量替换

函数 在 分别在 时单调收敛到

交换级数和积分, 并使用

的出现的讨论, 也见 why-pi-in-Gaussian-integral