1. notice
  3. English
  4. 1. feature
  6. logic-topic
  7. 2. logic
  8. 3. set-theory
  9. 4. map
  10. 5. order
  11. 6. combinatorics
  13. calculus
  14. 7. real-numbers
  15. 8. limit-sequence
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean-space
  18. 11. Minkowski-space
  19. 12. polynomial
  20. 13. analytic-Euclidean
  21. 14. analytic-Minkowski
  22. 15. analytic-struct-operation
  23. 16. ordinary-differential-equation
  24. 17. volume
  25. 18. integral
  26. 19. divergence
  27. 20. limit-net
  28. 21. compact
  29. 22. connected
  30. 23. topology-struct-operation
  31. 24. exponential
  32. 25. angle
  34. geometry
  35. 26. manifold
  36. 27. metric
  37. 28. metric-connection
  38. 29. geodesic-derivative
  39. 30. curvature-of-metric
  40. 31. Einstein-metric
  41. 32. constant-sectional-curvature
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. principal-bundle
  44. 35. group-action
  45. 36. stereographic-projection
  46. 37. Hopf-bundle
  48. field-theory
  49. 38. point-particle-non-relativity
  50. 39. point-particle-relativity
  51. 40. scalar-field
  52. 41. scalar-field-current
  53. 42. scalar-field-non-relativity
  54. 43. projective-lightcone
  55. 44. spacetime-momentum-spinor-representation
  56. 45. Lorentz-group
  57. 46. spinor-field
  58. 47. spinor-field-current
  59. 48. electromagnetic-field
  60. 49. Laplacian-of-tensor-field
  61. 50. Einstein-metric
  62. 51. interaction
  63. 52. harmonic-oscillator-quantization
  64. 53. spinor-field-misc
  65. 54. reference
  67. 中文
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. 逻辑
  72. 57. 逻辑
  73. 58. 集合论
  74. 59. 映射
  75. 60. 序
  76. 61. 组合
  78. 微积分
  79. 62. 实数
  80. 63. 数列极限
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean 空间
  83. 66. Minkowski 空间
  84. 67. 多项式
  85. 68. 解析 (Euclidean)
  86. 69. 解析 (Minkowski)
  87. 70. 解析 struct 的操作
  88. 71. 常微分方程
  89. 72. 体积
  90. 73. 积分
  91. 74. 散度
  92. 75. 网极限
  93. 76. 紧致
  94. 77. 连通
  95. 78. 拓扑 struct 的操作
  96. 79. 指数函数
  97. 80. 角度
  99. 几何
  100. 81. 流形
  101. 82. 度规
  102. 83. 度规的联络
  103. 84. Levi-Civita 导数
  104. 85. 度规的曲率
  105. 86. Einstein 度规
  106. 87. 常截面曲率
  107. 88. simple-symmetric-space
  108. 89. 主丛
  109. 90. 群作用
  110. 91. 球极投影
  111. 92. Hopf 丛
  113. 场论
  114. 93. 非相对论点粒子
  115. 94. 相对论点粒子
  116. 95. 纯量场
  117. 96. 纯量场的守恒流
  118. 97. 非相对论纯量场
  119. 98. 光锥射影
  120. 99. 时空动量的自旋表示
  121. 100. Lorentz 群
  122. 101. 旋量场
  123. 102. 旋量场的守恒流
  124. 103. 电磁场
  125. 104. 张量场的 Laplacian
  126. 105. Einstein 度规
  127. 106. 相互作用
  128. 107. 谐振子量子化
  129. 108. 旋量场杂项
  130. 109. 参考

note-math

[flat-metric] (ref-2, vol)

flat metric := 存在坐标使得 标准 metric

的继承自 的子流形 metric 不是 flat-metric, 而是 constant-sectional-curvature.

何时存在 flat metric?

选取一个坐标 , with metric

假设变换到 with metric , 则

联络的变换

对于 flat metric , 从而

等价地

这个性质, 加上 的初值条件, 使得可以用 PDE 恢复 flat metric, i.e. 用于证明

Proof

product-rule 展开以上的微分

关于 的线性 PDE

是可解的 <==> 满足 linear-PDE-integrable-condition

where is geodesic-derivative

or

如果解出了 , 用初值条件再次积分得到 , 得到从坐标 到 flat-metric 坐标 的转换函数

在 flat-metric 坐标 所以测地线 ODE 是 ,所以 flat-metric 坐标将是测地线坐标

不存在 flate metric 坐标时, 则选取 Einstein-metric 作为最小 纯量曲率

现在不假设 flat metric

[curvature-of-metric]

曲率 ( from "Riemann")

是张量 (尽管 不是)

name-overload: 曲率 := 曲率的 metric-dual

在坐标中

[flat-metric-iff-curvature-0] flat-metric <==> 曲率是零

[curvature-determine-metric-locally]

"flat-metric <==> 曲率零" 可以推广到曲率决定局部 metric

如果两个 metric 及其曲率通过 点之间局部微分同胚联系起来, 且微分是 切空间之间的 isometry, 则局部微分同胚是 的局部 isometry

[curvature-in-geodesic-coordinate]

在测地线坐标的原点 , 通过计算, 通过

  • metric-connection 的定义和曲率 定义

有

or

==> 如果在测地线坐标, metric 的 Taylor 展开二阶微分也是零 则曲率也是零 , 从而导致 flat-metric, 从而高阶微分也是零

[symmetry-of-curvature]

or

==>

Proof 在测地线坐标, 用 or 表示的曲率 的定义

[algebraic-curvature-tensor] 代数曲率张量定义为满足上述对称性 (ref-6, lect 8)

[curvature-product]

模仿 曲率在测地线坐标的定义, 对于二阶对称张量 定义 curvature-product

or

满足 symmetry-of-curvature, 从而 , or

在测地线坐标的原点, 曲率是 (formally)

Def

  • 将 映射到自身且 , i.e. wiki:Projection_(linear_algebra), so

  • 对于交错张量 , , so

[dimension-of-algebraic-curvature] 使用 , 有代数曲率张量空间的维数

where

metric 是一种张量

映射

[adjoint-of-curvature-product] :=

对于 和 和 的 tensor-induced-metric

对每个 , 线性函数

有 空间的 metric-adjoint :=

线性函数 可以用 空间的 metric 表示

在坐标中

是单射, 是满射. Proof 使用复合映射的前置逆和后置逆, 构造方式参考 curvature-decomposition 的计算

metric-adjoint ==>

线性映射 ==>

==>

映射

metric-adjoint :=

for and

so

在坐标中

是单射, 是满射

[curvature-decomposition-space]

正交分解为子张量空间, 且不可再这样分解 i.e. irreducible

[curvature-decomposition] forall , exists , 正交分解

Proof if it's true then

  • [Ricci-curvature]

    在坐标中

  • [scalar-curvature]

    在坐标中

  • [conformal-curvature] (named so because if it vanish then the metric conformally flat when ) ( from "Weyl")

类似地, 正交分解 是

trace-free Ricci-curvature

曲率正交子张量空间分解

quadratic-form

[curvature-low-dimension] low dimension curvature

  • span by

  • , only type , and

  • 是双射

  • 完全决定于

let

metric 测地线坐标展开也有曲率的出现

且满足

注意这是求和 的等式, 而不是系数的等式

  • "trace" 也出现在 Taylor-expansion of metric volume-form , 相关于 and

  • "trace" 再次出现在 volume of geodesic ball (for spacetime manifold 应该用 multi radius?)

if scale matric

  • geodesic-derivative
  • curvature
  • curvature metric-dual
  • Ricci-curvature
  • sectional_curvature
  • scalar-curvature

用 signature 来表示时空 metric 时, 就是对 signature 乘以