Euclidean 的方向空间是
旋转是 的保持方向空间 的 (保持方向) isometry 的部分
的 isometry 是 (可以证明 isometry 蕴含 仿射)
旋转是
的元素 with . 集合论上等价于
乘法上也是兼容的
Question [angle]
可能不是完美的动机
将 metric 限制在 得到 metric-manifold
直觉上, 在 Euclidean , 我们可以 "旋转", 并且旋转的复合对应 "角度" 的相加
后者应该是 的 Killing-field 的 作为单参数同态到 的 isometry
用 测地线 计算 . 用例如 球极投影坐标 计算测地线. 对于 为起点的测地线, 结果记为 [trigonometric-function] 三角函数 . 用 反函数定理 可以计算 的在 的幂级数展开
同态体现在, 根据幂级数
于是
双曲角度同理
[complex-numbler-geometric-meaning]
现在, 上有乘法, 表现为角度相加
可以分解为距离 和方向 ,
乘法定义为 距离相乘和 的方向相乘或者角度相加
的乘法逆表示为角度的加法逆
的乘法逆是 距离的逆且 的方向的逆
分配律
- 距离乘法的分配律就是 的, 意义是先向量加法再伸缩等于先伸缩再向量加法
- 方向乘法的分配律的意义是, 旋转是线性映射, 先向量加法再旋转等于先旋转再向量加法
不同于 和 , 由于 以及 , 导致可以说 自己能够乘法
代数 or , 称为复数
就是 的长度 元素的乘法, 也是保持 的长度的乘法
or or
复共轭就是距离不变但方向逆 or
[Euler-formula] 指数函数
类似地, 双曲和 split complex
Question 推广到四元数 和八元数 及其 split 版本