note-math

Euclidean $ℝ^{2}$ 的方向空间是 $𝕊 = 𝕊^{1}$

旋转是 $ℝ^{2}$ 的保持方向空间 $𝕊$ 的 (保持方向) #link(<isometry>)[] 的部分

$ℝ^{2}$ 的 isometry 是 $SO (2) ⋊ ℝ^{2}$ (可以证明 $ℝ^{2}$ isometry 蕴含 #link(<affine>)[仿射])

旋转是 $SO (2)$

$SO (2)$ 的元素 $(\begin{matrix} 𝑎 & - 𝑏 \\ 𝑏 & 𝑎 \end{matrix})$ with $𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 1$ . 集合论上等价于 $𝕊$

乘法上也是兼容的 $(\begin{matrix} 𝑎 & - 𝑏 \\ 𝑏 & 𝑎 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑏 \end{matrix}) ≃ (\begin{matrix} 𝑎 & - 𝑏 \\ 𝑏 & 𝑎 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 𝑎 & - 𝑏 \\ 𝑏 & 𝑎 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

$SO (2)$ 的元素的乘法等价于 $ℂ$ 的长度 $1$ 元素的乘法. recall $ℂ$ 是 #link(<normed-algebra>)[] $| 𝑎 𝑏 | = | 𝑎 | | 𝑏 |$

Question angle_(tag)

可能不是完美的动机

将 $ℝ^{2}$ metric 限制在 $𝕊$ 得到 #link(<metric-manifold>)[]

直觉上, 在 Euclidean $ℝ^{2}$ , 我们可以 "旋转", 并且旋转的复合对应 "角度" 的相加

后者应该是 $𝕊$ 的 #link(<Killing-field>)[] 的 $exp : ℝ \to Isom 𝕊$ 作为单参数同态到 $𝕊$ 的 isometry

用 #link(<geodesic>)[测地线] 计算 $exp$ . 用例如 #link(<stereographic-projection>)[球极投影坐标] 计算测地线. 对于 $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ 为起点的测地线, 结果记为 trigonometric-function_(tag) 三角函数 $(\begin{matrix} cos (𝑡) \\ sin (𝑡) \end{matrix})$ . 用 #link(<inverse-analytic>)[反函数定理] 可以计算 $(\begin{matrix} cos (𝑡) \\ sin (𝑡) \end{matrix})$ 的在 $𝑡 = 0$ 的幂级数展开

\begin{matrix} cos (𝑡) & = & \sum \frac{{(- 1)}^{𝑛}}{(2 𝑛)!} 𝑡^{2 𝑛} \\ sin (𝑡) & = & \sum \frac{{(- 1)}^{𝑛}}{(2 𝑛 + 1)!} 𝑡^{2 𝑛 + 1} \end{matrix}

同态体现在, 根据幂级数

(\begin{matrix} cos (𝑠 + 𝑡) & - sin (𝑠 + 𝑡) \\ sin (𝑠 + 𝑡) & cos (𝑠 + 𝑡) \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos (𝑠) & - sin (𝑠) \\ sin (𝑠) & cos (𝑠) \end{matrix}) (\begin{matrix} cos (𝑡) & - sin (𝑡) \\ sin (𝑡) & cos (𝑡) \end{matrix})

或者使用 Euler-formula_(tag) $exp i 𝑡 = cos 𝑡 + i sin 𝑡 ≃ (\begin{matrix} cos (𝑡) & - sin (𝑡) \\ sin (𝑡) & cos (𝑡) \end{matrix})$ , 然后用 $ℂ$ #link(<exponential>)[指数函数] 和复数乘法 $exp i (𝑠 + 𝑡) = exp i 𝑠 \cdot exp i 𝑡$

于是 $ℝ ↠ SO (2) ≃ 𝕊 ≃ U (1, ℂ)$

双曲角度同理 $ℝ \leftrightarrow SO (1, 1) ≃ ℍ 𝕪 ≃ U (1, ℂ_{split})$